UNICIDAD DEL 1 Y DEL 0
Una característica interesante que poseen los números que conocemos es la unicidad de los elementos neutros de la suma y el producto. Un número es neutro de una operación cuando al operarlo con otro, no lo cambia. En este sentido, el 0 es neutro en la suma y el 1 es neutro en el producto. Esto es obvio porque la suma de un número y el 0, devuelve el mismo número; lo mismo ocurre si multiplicamos un número con el 1. Esta idea de neutralidad se puede interpretar fácilmente como la ausencia de valor en el cero y como la ausencia de multiplicidad del 1. Ahora, podríamos preguntarnos si hay algún otro número que sea neutro para la suma o bien para la multiplicación. En este artículo vamos a dar un argumento para ver que los neutros mencionados son únicos, es decir, no hay otro/s.
Los argumentos para demostrar que los neutros mencionados son únicos, se basan en el método por contradicción; suponemos que no son únicos, es decir que hay al menos otro neutro distinto y al final vemos que son iguales, es decir, una contradicción a lo supuesto. La contradicción establece que no puede haber otro neutro que no sea el 0 o el 1, en la suma o el producto respectivamente, ya que sino tendríamos una afirmación verdadera y falsa al mismo tiempo. Pasemos a las pruebas anticipando que son muy similares.
Afirmación 1: El 0 es el único número neutro para la suma.
Demostración: Supongamos que hay otro elemento neutro distinto del cero, lo llamaremos c. En principio, por nuestra suposición c no es igual al 0, pero si tenemos en cuenta que ambos son neutros tendremos lo siguiente:
\[0=0+c=c\]
donde la primera igualdad es porque c es neutro y la segunda igualdad porque el 0 es neutro. Pero entonces, hemos llegado a que 0=c, contradiciendo lo que habíamos supuesto, que 0 es distinto de c. Por lo tanto, no puede ser que haya otro neutro para la suma, sólo puede ser el 0, ya que si hay otro neutro, resulta ser igual al 0 (el mismo 0 pero enmascarado).
Afirmación 2: El 1 es el único número neutro para el producto.
Demostración: Nuevamente supongamos que hay otro neutro distinto del 1, lo llamamos u. Luego, como ambos son neutros para el producto, se tiene que:
\[1=1.u=u\]
Siguiendo la misma línea que en la Afirmación 1, tenemos que 1=u. Por lo tanto si encontramos otro neutro para el producto, no será otro mas que simplemente el 1, esto significa que el 1 es el único neutro multiplicativo.
Observación
Es hecho luego se generaliza aún más, el neutro siempre será único para un conjunto con una operación binaria cerrada que posea las cualidades de ser asociativo, tener neutro y poder invertir los elementos; este conjunto con la operación se denominan Grupo. Como ejemplo, los números reales cumplen estas cualidades con la suma y también con la multiplicación (pero quitando el cero de sus elementos), es por esto que se ve la unicidad de los neutros.
CAZANDO AL INFINITO
En este artículo vamos a tratar un concepto, o mejor dicho idea, que tenemos y formamos de manera intuitiva durante nuestra vida: el infinito. Seguramente si alguien nos preguntara ¿qué es el infinito?, tendríamos una respuesta: "algo muy grande, algo infinito, infinitamente grande". Sin embargo, cuando nos preguntamos realmente ¿qué es? y tratáramos de determinarlo exactamente con una definición, no podríamos. En realidad, se dice que infinito es un adjetivo, una propiedad de algo, aunque también se lo puede tratar como un sustantivo. En principio, las matemáticas nos permiten lograr un mayor entendimiento del infinito en términos de tamaño, muchas personas desconocen que existen infinitos infinitos (la misma palabra como adjetivo y sustantivo al mismo tiempo). Por otro lado, también nos permite tratar al infinito como un lugar, que existe matemáticamente pero es imposible imaginarlo.
Un objetivo principal de éste artículo es lograr que los lectores queden convencidos de que no hay un único infinito. Otro objetivo es dejar muchas preguntas en sus mentes, tratando de imaginar cómo es el infinito.
NO HAY UN ÚNICO INFINITO
En esta sección vamos a tratar de mostrar que al menos hay dos infinitos distintos y por lo tanto uno es mayor que el otro. Usaremos los conjuntos numéricos.
En esta sección vamos a tratar de mostrar que al menos hay dos infinitos distintos y por lo tanto uno es mayor que el otro. Usaremos los conjuntos numéricos.
Los primeros números que aprendemos son los números naturales, o sea los números que usamos para contar. Si pensamos en el conjunto de los números naturales (se denota con N), es casi obvio que es infinito. Si no te convences de este hecho, lo vamos a hacer con el siguiente razonamiento.
El conjunto de los número naturales se construye de manera inductiva, esto quiere decir que tiene un primer elemento y luego, los demás números se construyen agregando 1 al inmediatamente anterior. Esta manera de construir un número natural permite afirmar que si n es natural, entonces n+1 también lo es y que además es distinto de n. Ahora vamos a ver que N es infinito, para ello vamos a suponer que no es así, es decir que existe una cantidad finita de números naturales. Supongamos que el mayor número natural es un cierto n, es decir que suponemos que no hay otro natural mayor que n. Ahora, por la definición de los naturales, si n es natural, entonces n+1 es también natural. Luego n no es el mayor natural como habíamos supuesto, ya que n+1 es mayor que n, encontramos una contradicción. Esta contradicción surge de suponer que N es finito. Por lo tanto, no puede ser que N sea finito, entonces ha de ser infinito. Es más, este razonamiento lo pueden hacer sin pensar de manera abstracta. Si aún no se convencen de que N es infinito, entonces han de pensar que hay un número más grande que todos los demás, súmenle 1 y listo, ya tienen uno más grande, este proceso se puede repetir siempre, y por lo tanto nunca van a tener un natural que sea mayor que todos los demás. Así, concluimos que N tiene la cualidad de ser infinito y además podemos afirmar con certeza que cualquier conjunto que incluya a N dentro de sí, será también infinito. Por otro lado, otra conclusión que se desprende como corolario de esta evidencia es que el infinito no puede ser un número natural, ya que si lo fuera, caeríamos de nuevo en la misma contradicción, ya que si al infinito le agregamos 1, sigue siendo el mismo infinito y por lo tanto violaría la forma de construir números naturales. Más aún, el infinito no puede ser un número ya que no se comporta de la misma manera bajo las operaciones básicas.
Ahora que sabemos que hay infinitos números naturales, podemos poner
\[N=\{1,2,3,...\},\]
donde los puntos suspensivos implican que la lista de números no termina nunca. Es necesario destacar que estamos viendo al infinito como un adjetivo ("que no tiene fin ni límite"), una cualidad de los conjuntos referida a la cantidad de elementos que tienen; esto se conoce en matemáticas como "cardinalidad". De hecho, N posee el menor infinito posible; la prueba de esto es relativamente sencilla pero escapa al fin de este artículo. En realidad, nosotros vamos para el otro lado, intentamos ver que hay al menos un infinito mayor que el de N.
Bien, en este momento podemos pensar qué pasa con los demás conjuntos numéricos. En principio miremos qué pasa si al conjunto de los números naturales lo ampliamos agregándole el cero y sus opuestos, es decir, formamos el conjunto de los números enteros (se denota con una Z). Ya sabemos que Z es infinito, por lo que dijimos anteriormente, luego podemos poner:
\[Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\]
Notar que hay tantos naturales opuestos (negativos) como naturales, por eso los puntos suspensivos al inicio y al final del conjunto. Por lo tanto el infinito de los negativos es igual al de los positivos, pero ¿qué pasa sobre la cantidad de números que contiene Z? Al principio muchos podrían afirmar que Z tiene más números que N, y nosotros diríamos, pero entonces Z es más infinito que N (su cardinalidad es mayor). En lo que sigue, vamos a tratar de convencerlos de que en realidad, tienen la misma cantidad de números, que aunque hayamos agregado una infinidad de números más, Z y N tienen la misma cardinalidad, la misma infinitud.
Primero, notemos que el conjunto
\[N_0=\{0,1,2,3,...\}\]
Ahora que sabemos que hay infinitos números naturales, podemos poner
\[N=\{1,2,3,...\},\]
donde los puntos suspensivos implican que la lista de números no termina nunca. Es necesario destacar que estamos viendo al infinito como un adjetivo ("que no tiene fin ni límite"), una cualidad de los conjuntos referida a la cantidad de elementos que tienen; esto se conoce en matemáticas como "cardinalidad". De hecho, N posee el menor infinito posible; la prueba de esto es relativamente sencilla pero escapa al fin de este artículo. En realidad, nosotros vamos para el otro lado, intentamos ver que hay al menos un infinito mayor que el de N.
Bien, en este momento podemos pensar qué pasa con los demás conjuntos numéricos. En principio miremos qué pasa si al conjunto de los números naturales lo ampliamos agregándole el cero y sus opuestos, es decir, formamos el conjunto de los números enteros (se denota con una Z). Ya sabemos que Z es infinito, por lo que dijimos anteriormente, luego podemos poner:
\[Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\]
Notar que hay tantos naturales opuestos (negativos) como naturales, por eso los puntos suspensivos al inicio y al final del conjunto. Por lo tanto el infinito de los negativos es igual al de los positivos, pero ¿qué pasa sobre la cantidad de números que contiene Z? Al principio muchos podrían afirmar que Z tiene más números que N, y nosotros diríamos, pero entonces Z es más infinito que N (su cardinalidad es mayor). En lo que sigue, vamos a tratar de convencerlos de que en realidad, tienen la misma cantidad de números, que aunque hayamos agregado una infinidad de números más, Z y N tienen la misma cardinalidad, la misma infinitud.
Primero, notemos que el conjunto
\[N_0=\{0,1,2,3,...\}\]
se puede dividir en dos subconjuntos, el de los números pares y el de los impares. Pongamos
\[2N=\{0,2,4,6,...\}\]
\[2N+1=\{1,3,5,7,...\}\]
el conjunto de pares y el del impares, respectivamente. Notar que ambos subconjuntos tienen infinitos elementos, los invito a intentar una prueba de esta afirmación (ayuda: afirmar lo contrario y razonar de la misma manera que con N, llegarán a una contradicción). Es momento de convencerlos de que 2N y 2N+1 tienen la misma cantidad que N, entender esto será crucial para lo que sigue.
Razonemos por qué 2N y N tienen la misma cantidad de números. Para ello hacemos la siguiente asignación: a cada número par, lo emparejamos con un único número natural. Por ejemplo, al 0 lo emparejamos con el 1, al 2 lo emparejamos con el 2, al 4 con el 3, y así sucesivamente.
$0\rightarrow 1$
$2\rightarrow 2$
$4\rightarrow 3$
...
$2n\rightarrow n+1$
...
De esta manera, todos los números pares se emparejan uno a uno con los números naturales, de tal manera que no sobran tampoco naturales sin emparejar. Así, existen tantas flechas como números pares, y tantas como números naturales. Por lo tanto, la cantidad de flechas coincide con la cantidad de naturales y también coincide con la cantidad de pares, o sea, la cantidad de pares coincide con la de naturales. Con esto probamos que 2N tienen la misma cardinalidad que N, la misma infinitud.
Esto se puede hacer también para ver que 2N+1 y N tiene la misma cardinalidad. Así podemos decir que si sumo el infinito de 2N y el de 2N+1, obtengo de nuevo el mismo infinito de $N_0$.
Ahora, también es fácil ver que N y $N_0$ tiene la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada número en $N_0$ lo flecho con su siguiente. De esta manera se tiene que el 0 se flecha al 1, el 1 al 2, el 2 al 3, etc.. Luego todos los elementos en $N_0$ están flechados uno a uno con todos los elementos de N. Concluimos, razonando como anteriormente, que $N_0$ tiene el mismo infinito de N. O sea que si a N le agrego un número, su infinitud no cambia.
Entonces, por lo que vimos hasta ahora, tenemos que si sumamos dos veces la infinidad de N, volvemos a obtener la misma infinidad de N. Esto es así, porque vimos que el infinito de los pares y de los impares coinciden y ambos son iguales al infinito de N, además juntos dan el infinito de $N_0$ que también es misma infinidad de N.
En este momento ya estamos listos para ver que Z y N tienen la misma cantidad de elementos. Primero vemos que Z se puede dividir en dos subconjuntos, el de los negativos y el de los no negativos:
\[N_{+}=\{0,1,2,3,...\}\]
\[N_{-}=\{-1,-2,-3,...\}\]
Sabemos que $N_{+}$ y N tienen la misma cantidad de elementos, ya que $N_{+}=N_0$. Además, es obvio que la cardinalidad de $N_{-}$ coincide con la de N. Por lo tanto, al juntar $N_{+}$ y $N_{-}$, estoy sumando dos veces el infinito de N, lo que nos vuelve a dar el mismo infinito de N. De esta manera, vemos que Z y N tiene la misma cantidad de elementos, el mismo infinito.
Hasta ahora no hemos encontrado un infinito distinto al de los números naturales, pero por suerte aún tenemos muchos números más para agregar y ampliar a Z hacia un conjunto "más grande". Entonces, agregamos a Z, los números decimales periódicos o los decimales exactos, positivos y negativos obviamente. De esta manera formamos el conjunto de los números racionales (se denota con una Q). Es conocido que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción entre dos números enteros. Entonces podemos poner:
\[Q=\{\frac{a}{b}\mid a, b\in Z, b\neq 0\}\]
Este conjunto también es infinito, ya que dentro de él está Z, aunque se agrego gran cantidad de números más, infinitos. Dentro de Q están los enteros, los números con decimales finitos (es decir que no tiene infinitos decimales) y los números con decimales infinitos periódicos. Por ejemplo, son racionales los siguientes números:
$-2=\frac{-2}{1}$
$-2,5=\frac{-25}{10}$
$-2,555555555...=\frac{-23}{9}$
Notar que el primero es entero, el segundo es decimal exacto y el tercero decimal periódico, todos se pueden escribir como una fracción.
Una peculiaridad de este conjunto Q es que los números ya no tienen un siguiente inmediato. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el número racional que le sigue al 1, no puede ser el 2, porque antes está el 1,5, pero 1,5 tampoco puede ser porque antes esta el 1,25, pero 1,25 no puede ser porque antes esta el 1,125, y podemos seguir así infinitamente. Por lo tanto, ningún número racional tiene un siguiente inmediato.
Ahora, miremos que Q y N tienen la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada fracción le asigno el par ordenado formado por su numerador y su denominador, o sea
\[\frac{a}{b}\rightarrow (a;b).\]
Luego existen tantas flechas como fracciones haya, tantas como pares ordenados de números enteros haya. Notar que por cada fracción habrá un único par ordenado de enteros. Entonces si vemos que la cantidad de pares ordenados de enteros coincide con la de N, ya habremos mostrado que la cardinalidad de Q es N. Esto lo vamos a mostrar de manera simple, sin la rigurosidad matemática que se acostumbra. La idea es ver primero miremos que cada par ordenado de enteros vive en $Z\times Z$. Luego, la cantidad de posibilidades que tenemos para formar pares ordenados es la cardinalidad de Z mas la cardinalidad de Z. Como la cardinalidad de Z es la de N y sumar dos veces la cardinalidad de N da la misma de N, concluimos que $Z\times Z$ tiene la misma cantidad de elementos que N. Por lo tanto Q tiene la misma infintud que N. Finalmente seguimos teniendo el mismo infinito.
Afortunadamente nos queda por agregar un tipo mas de número, agregamos a Q los números que tienen infinitos decimales pero que no son periódicos (estos números se llaman irracionales) y formamos el conjunto de los números reales (se denota con una letra R). Resulta que este conjunto incluye a Q y también a otros más (infinitos más).
Miremos ahora que R tiene un infinito más grande que N. Para eso, tomemos un pedacito de R y miremos que ese pedacito tiene un infinito más grande que el de todo N. Para demostrar esto, tomemos el intervalo de los números reales entre el 0 y el 1, lo denotamos simplemente [0;1], y supongamos que en él hay la misma cantidad de números que en N, lo cual nos llevará a un absurdo o contradicción (para entender mejor este método de demostración pueden mirar el siguiente artículo).
Entonces, si [0;1] tiene la misma cardinalidad que N, entonces podemos emparejar cada número en [0;1] con un único número natural, de tal manera que cada natural tiene su única pareja en [0;1]. De esta manera, se tendría que todos los números reales en [0;1] están numerados, ya que a cada uno le toca un número natural. Considerando el hecho de que un número con periodo 9, es el número que tiene una unidad más en la posición anterior a la del periodo. Por ejemplo, 0,89999999...=0,9. Luego, todos los números en [0;1] están en la lista infinita $\{a_1, a_2, a_3, a_4, ...\}$, donde cada $a_i$ vale "0 coma algo". Este emparejamiento se puede escribir como:
$1\rightarrow a_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3...$
$2\rightarrow a_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3...$
$3\rightarrow a_3=0,a_3^1a_3^2a_3^3...$
$4\rightarrow a_4=0,a_4^1a_4^2a_4^3...$
...,
y así sucesivamente. Notar que los índices superiores son para designar la posición del dígito, que es un número de 0 a 9. Luego, construimos el siguiente número real $b=0,b_1b_2b_3b_4...$, donde:
$b_1= a_1^1+1$
$b_2= a_2^2+1$
$b_3= a_3^3+1$
$b_4= a_4^4+1$
...
sucesivamente. Con esto vemos que b no está en la lista, ya que:
$b\neq a_1$ porque $b_1\neq a_1^1$
$b\neq a_2$ porque $b_2\neq a_2^2$
$b\neq a_3$ porque $b_3\neq a_3^3$
$b\neq a_4$ porque $b_4\neq a_4^4$
...
Es decir, b difiere con todos los números de la lista porque sus decimales difieren con algún decimal de cada número en la lista. Luego, la lista no contiene a todos los números reales. Por lo tanto, hay más números reales en [0;1] que las flechas que se usaron en la asignación. Luego, probamos que el cardinal de [0;1] es mayor que el de N. Finalmente encontramos un subconjunto de R que tiene un infinito más grande que el de N. Por lo tanto, R tiene más números que N.
Con esto vemos que hay al menos dos tipos de infinitos, donde hay un infinito más grande que otro. En cuestiones de nombres, el cardinal de N se denomina "alef cero", denotado por $\aleph_0$ y el cardinal de R simplemente como "continuo", denotado por c.
Históricamente el matemático Cantor G. (1845-1918) fue quien demostró que R tenía un mayor cardinal que N, y además mostró que se podía construir una sucesión creciente de cardinales infinitos $\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<...$, donde el menor de todos era el $\aleph_0$ (el infinito más chico) y conjeturó que $\aleph_1=c$, la cual se denomina la "hipótesis del continuo". Su hipótesis afirma que no hay ningún infinito entre los naturales y reales. Cantor luchó incansablemente para demostrar esta hipótesis. Tal era su lucha que, luego de que en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 un matemático ruso propuso una demostración, Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error. Sin embargo, poco tiempo después, otro matemático, cuyo apellido se asocia a un axioma muy controversial (el axioma de elección), mostraba que la prueba tenía un error. De esta manera, la hipótesis del continuo siguió sin demostración hasta después de la muerte de Cantor, y seguirá por siempre. Esto es así, porque años después de la muerte de su autor, dos matemáticos, Gödel K. y Cohen P., cerrarían por completo el problema: la hipótesis del continuo es indemostrable (Cohen en 1963) y tampoco se la puede refutar (Gödel en 1940).
CUESTIONES EXTRAS SOBRE EL INFINITO
En lo anterior, vimos que no existe un único infinito como adjetivo ni como sustantivo, dado que si decimos simplemente "es infinito" en cuanto al tamaño, no estamos determinando cuán infinito es. Más aún, tampoco podemos decir que hay un infinito más grande que todos los infinitos. De esta manera, la cualidad de ser infinito no es única.
Por otro lado, podríamos pensar en el infinito como la negación de un lugar al que alguna vez llegaremos desplazándonos. Imaginemos que se tiene un plano con un sistema de ejes cartesianos. Sabemos que el plano es infinito en dimensiones, si caminamos en línea recta, jamás llegaríamos al final del plano. Pensemos en circunferencias centradas en el cero y de un ciertos radios finitos. Luego, tomemos el infinito como aquel lugar que se encuentra fuera de todas las circunferencias centradas en el cero y de radio finito. En este sentido, podríamos pensar en el infinito como el lugar que yace sobre una circunferencia de radio infinito. Este razonamiento se puede extender al espacio tridimensional. También lo podríamos llevar a un espacio de n dimensiones, por ejemplo el Espacio-Tiempo fundado por Einstein. Sin embargo, la mayoría de los científicos actuales sostienen que el universo es ilimitado pero no infinito. Esto nos lleva a diferenciar lo ilimitado de lo infinito. Ilimitado significa que no tiene límite, en cambio infinito implica que no tiene fin. Entonces, como podríamos pensar que el universo no es infinito pero si es ilimitado. Esto significa que si nos desplazamos a través del espacio, jamás chocaríamos contra algo, nunca encontraríamos el límite o frontera, pero ¿acaso esto significa que el universo es infinito?. En realidad no, para entender mejor esto, realicemos una analogía. Imaginemos que nos vendaran los ojos y nos pusieran a caminar sobre una esfera lo suficientemente grande, de la cual no nos podemos caer. En principio pensaríamos que estamos caminando en una superficie plana y notaríamos que nunca llegamos a ningún lado. En nuestras mentes, esa superficie por la que caminamos tiene longitud infinita e ilimitada, pero en realidad, la longitud de todas las circunferencia que se pueden realizar sobre la esfera, seria finita, ya que la esfera tiene radio finito. Entonces vemos que la superficie de nuestra esfera es ilimitada, pero no infinita, tiene un área determinada (es finitamente medible) pero no tiene límite ni frontera. De esta manera, nuestro universo se comportaría del mismo modo, es finito (medible) pero ilimitado. Entonces, podríamos pensar si existe la posibilidad de algo físicamente infinito dentro del universo (¿sería un absurdo no?). Einstein dejó una frase célebre al respecto: "Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; del universo no estoy seguro."
Posiblemente el infinito es sólo la negación de lo finito, ¿existe?, claro que sí, tiene existencia pero no en nuestro mundo, y más aún, mostramos que al menos existen infinitos infinitos.
\[2N=\{0,2,4,6,...\}\]
\[2N+1=\{1,3,5,7,...\}\]
el conjunto de pares y el del impares, respectivamente. Notar que ambos subconjuntos tienen infinitos elementos, los invito a intentar una prueba de esta afirmación (ayuda: afirmar lo contrario y razonar de la misma manera que con N, llegarán a una contradicción). Es momento de convencerlos de que 2N y 2N+1 tienen la misma cantidad que N, entender esto será crucial para lo que sigue.
Razonemos por qué 2N y N tienen la misma cantidad de números. Para ello hacemos la siguiente asignación: a cada número par, lo emparejamos con un único número natural. Por ejemplo, al 0 lo emparejamos con el 1, al 2 lo emparejamos con el 2, al 4 con el 3, y así sucesivamente.
$0\rightarrow 1$
$2\rightarrow 2$
$4\rightarrow 3$
...
$2n\rightarrow n+1$
...
De esta manera, todos los números pares se emparejan uno a uno con los números naturales, de tal manera que no sobran tampoco naturales sin emparejar. Así, existen tantas flechas como números pares, y tantas como números naturales. Por lo tanto, la cantidad de flechas coincide con la cantidad de naturales y también coincide con la cantidad de pares, o sea, la cantidad de pares coincide con la de naturales. Con esto probamos que 2N tienen la misma cardinalidad que N, la misma infinitud.
Esto se puede hacer también para ver que 2N+1 y N tiene la misma cardinalidad. Así podemos decir que si sumo el infinito de 2N y el de 2N+1, obtengo de nuevo el mismo infinito de $N_0$.
Ahora, también es fácil ver que N y $N_0$ tiene la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada número en $N_0$ lo flecho con su siguiente. De esta manera se tiene que el 0 se flecha al 1, el 1 al 2, el 2 al 3, etc.. Luego todos los elementos en $N_0$ están flechados uno a uno con todos los elementos de N. Concluimos, razonando como anteriormente, que $N_0$ tiene el mismo infinito de N. O sea que si a N le agrego un número, su infinitud no cambia.
Entonces, por lo que vimos hasta ahora, tenemos que si sumamos dos veces la infinidad de N, volvemos a obtener la misma infinidad de N. Esto es así, porque vimos que el infinito de los pares y de los impares coinciden y ambos son iguales al infinito de N, además juntos dan el infinito de $N_0$ que también es misma infinidad de N.
En este momento ya estamos listos para ver que Z y N tienen la misma cantidad de elementos. Primero vemos que Z se puede dividir en dos subconjuntos, el de los negativos y el de los no negativos:
\[N_{+}=\{0,1,2,3,...\}\]
\[N_{-}=\{-1,-2,-3,...\}\]
Sabemos que $N_{+}$ y N tienen la misma cantidad de elementos, ya que $N_{+}=N_0$. Además, es obvio que la cardinalidad de $N_{-}$ coincide con la de N. Por lo tanto, al juntar $N_{+}$ y $N_{-}$, estoy sumando dos veces el infinito de N, lo que nos vuelve a dar el mismo infinito de N. De esta manera, vemos que Z y N tiene la misma cantidad de elementos, el mismo infinito.
Hasta ahora no hemos encontrado un infinito distinto al de los números naturales, pero por suerte aún tenemos muchos números más para agregar y ampliar a Z hacia un conjunto "más grande". Entonces, agregamos a Z, los números decimales periódicos o los decimales exactos, positivos y negativos obviamente. De esta manera formamos el conjunto de los números racionales (se denota con una Q). Es conocido que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción entre dos números enteros. Entonces podemos poner:
\[Q=\{\frac{a}{b}\mid a, b\in Z, b\neq 0\}\]
Este conjunto también es infinito, ya que dentro de él está Z, aunque se agrego gran cantidad de números más, infinitos. Dentro de Q están los enteros, los números con decimales finitos (es decir que no tiene infinitos decimales) y los números con decimales infinitos periódicos. Por ejemplo, son racionales los siguientes números:
$-2=\frac{-2}{1}$
$-2,5=\frac{-25}{10}$
$-2,555555555...=\frac{-23}{9}$
Notar que el primero es entero, el segundo es decimal exacto y el tercero decimal periódico, todos se pueden escribir como una fracción.
Una peculiaridad de este conjunto Q es que los números ya no tienen un siguiente inmediato. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el número racional que le sigue al 1, no puede ser el 2, porque antes está el 1,5, pero 1,5 tampoco puede ser porque antes esta el 1,25, pero 1,25 no puede ser porque antes esta el 1,125, y podemos seguir así infinitamente. Por lo tanto, ningún número racional tiene un siguiente inmediato.
Ahora, miremos que Q y N tienen la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada fracción le asigno el par ordenado formado por su numerador y su denominador, o sea
\[\frac{a}{b}\rightarrow (a;b).\]
Luego existen tantas flechas como fracciones haya, tantas como pares ordenados de números enteros haya. Notar que por cada fracción habrá un único par ordenado de enteros. Entonces si vemos que la cantidad de pares ordenados de enteros coincide con la de N, ya habremos mostrado que la cardinalidad de Q es N. Esto lo vamos a mostrar de manera simple, sin la rigurosidad matemática que se acostumbra. La idea es ver primero miremos que cada par ordenado de enteros vive en $Z\times Z$. Luego, la cantidad de posibilidades que tenemos para formar pares ordenados es la cardinalidad de Z mas la cardinalidad de Z. Como la cardinalidad de Z es la de N y sumar dos veces la cardinalidad de N da la misma de N, concluimos que $Z\times Z$ tiene la misma cantidad de elementos que N. Por lo tanto Q tiene la misma infintud que N. Finalmente seguimos teniendo el mismo infinito.
Afortunadamente nos queda por agregar un tipo mas de número, agregamos a Q los números que tienen infinitos decimales pero que no son periódicos (estos números se llaman irracionales) y formamos el conjunto de los números reales (se denota con una letra R). Resulta que este conjunto incluye a Q y también a otros más (infinitos más).
Miremos ahora que R tiene un infinito más grande que N. Para eso, tomemos un pedacito de R y miremos que ese pedacito tiene un infinito más grande que el de todo N. Para demostrar esto, tomemos el intervalo de los números reales entre el 0 y el 1, lo denotamos simplemente [0;1], y supongamos que en él hay la misma cantidad de números que en N, lo cual nos llevará a un absurdo o contradicción (para entender mejor este método de demostración pueden mirar el siguiente artículo).
Entonces, si [0;1] tiene la misma cardinalidad que N, entonces podemos emparejar cada número en [0;1] con un único número natural, de tal manera que cada natural tiene su única pareja en [0;1]. De esta manera, se tendría que todos los números reales en [0;1] están numerados, ya que a cada uno le toca un número natural. Considerando el hecho de que un número con periodo 9, es el número que tiene una unidad más en la posición anterior a la del periodo. Por ejemplo, 0,89999999...=0,9. Luego, todos los números en [0;1] están en la lista infinita $\{a_1, a_2, a_3, a_4, ...\}$, donde cada $a_i$ vale "0 coma algo". Este emparejamiento se puede escribir como:
$1\rightarrow a_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3...$
$2\rightarrow a_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3...$
$3\rightarrow a_3=0,a_3^1a_3^2a_3^3...$
$4\rightarrow a_4=0,a_4^1a_4^2a_4^3...$
...,
y así sucesivamente. Notar que los índices superiores son para designar la posición del dígito, que es un número de 0 a 9. Luego, construimos el siguiente número real $b=0,b_1b_2b_3b_4...$, donde:
$b_1= a_1^1+1$
$b_2= a_2^2+1$
$b_3= a_3^3+1$
$b_4= a_4^4+1$
...
sucesivamente. Con esto vemos que b no está en la lista, ya que:
$b\neq a_1$ porque $b_1\neq a_1^1$
$b\neq a_2$ porque $b_2\neq a_2^2$
$b\neq a_3$ porque $b_3\neq a_3^3$
$b\neq a_4$ porque $b_4\neq a_4^4$
...
Es decir, b difiere con todos los números de la lista porque sus decimales difieren con algún decimal de cada número en la lista. Luego, la lista no contiene a todos los números reales. Por lo tanto, hay más números reales en [0;1] que las flechas que se usaron en la asignación. Luego, probamos que el cardinal de [0;1] es mayor que el de N. Finalmente encontramos un subconjunto de R que tiene un infinito más grande que el de N. Por lo tanto, R tiene más números que N.
Con esto vemos que hay al menos dos tipos de infinitos, donde hay un infinito más grande que otro. En cuestiones de nombres, el cardinal de N se denomina "alef cero", denotado por $\aleph_0$ y el cardinal de R simplemente como "continuo", denotado por c.
Históricamente el matemático Cantor G. (1845-1918) fue quien demostró que R tenía un mayor cardinal que N, y además mostró que se podía construir una sucesión creciente de cardinales infinitos $\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<...$, donde el menor de todos era el $\aleph_0$ (el infinito más chico) y conjeturó que $\aleph_1=c$, la cual se denomina la "hipótesis del continuo". Su hipótesis afirma que no hay ningún infinito entre los naturales y reales. Cantor luchó incansablemente para demostrar esta hipótesis. Tal era su lucha que, luego de que en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 un matemático ruso propuso una demostración, Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error. Sin embargo, poco tiempo después, otro matemático, cuyo apellido se asocia a un axioma muy controversial (el axioma de elección), mostraba que la prueba tenía un error. De esta manera, la hipótesis del continuo siguió sin demostración hasta después de la muerte de Cantor, y seguirá por siempre. Esto es así, porque años después de la muerte de su autor, dos matemáticos, Gödel K. y Cohen P., cerrarían por completo el problema: la hipótesis del continuo es indemostrable (Cohen en 1963) y tampoco se la puede refutar (Gödel en 1940).
CUESTIONES EXTRAS SOBRE EL INFINITO
En lo anterior, vimos que no existe un único infinito como adjetivo ni como sustantivo, dado que si decimos simplemente "es infinito" en cuanto al tamaño, no estamos determinando cuán infinito es. Más aún, tampoco podemos decir que hay un infinito más grande que todos los infinitos. De esta manera, la cualidad de ser infinito no es única.
Por otro lado, podríamos pensar en el infinito como la negación de un lugar al que alguna vez llegaremos desplazándonos. Imaginemos que se tiene un plano con un sistema de ejes cartesianos. Sabemos que el plano es infinito en dimensiones, si caminamos en línea recta, jamás llegaríamos al final del plano. Pensemos en circunferencias centradas en el cero y de un ciertos radios finitos. Luego, tomemos el infinito como aquel lugar que se encuentra fuera de todas las circunferencias centradas en el cero y de radio finito. En este sentido, podríamos pensar en el infinito como el lugar que yace sobre una circunferencia de radio infinito. Este razonamiento se puede extender al espacio tridimensional. También lo podríamos llevar a un espacio de n dimensiones, por ejemplo el Espacio-Tiempo fundado por Einstein. Sin embargo, la mayoría de los científicos actuales sostienen que el universo es ilimitado pero no infinito. Esto nos lleva a diferenciar lo ilimitado de lo infinito. Ilimitado significa que no tiene límite, en cambio infinito implica que no tiene fin. Entonces, como podríamos pensar que el universo no es infinito pero si es ilimitado. Esto significa que si nos desplazamos a través del espacio, jamás chocaríamos contra algo, nunca encontraríamos el límite o frontera, pero ¿acaso esto significa que el universo es infinito?. En realidad no, para entender mejor esto, realicemos una analogía. Imaginemos que nos vendaran los ojos y nos pusieran a caminar sobre una esfera lo suficientemente grande, de la cual no nos podemos caer. En principio pensaríamos que estamos caminando en una superficie plana y notaríamos que nunca llegamos a ningún lado. En nuestras mentes, esa superficie por la que caminamos tiene longitud infinita e ilimitada, pero en realidad, la longitud de todas las circunferencia que se pueden realizar sobre la esfera, seria finita, ya que la esfera tiene radio finito. Entonces vemos que la superficie de nuestra esfera es ilimitada, pero no infinita, tiene un área determinada (es finitamente medible) pero no tiene límite ni frontera. De esta manera, nuestro universo se comportaría del mismo modo, es finito (medible) pero ilimitado. Entonces, podríamos pensar si existe la posibilidad de algo físicamente infinito dentro del universo (¿sería un absurdo no?). Einstein dejó una frase célebre al respecto: "Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; del universo no estoy seguro."
Posiblemente el infinito es sólo la negación de lo finito, ¿existe?, claro que sí, tiene existencia pero no en nuestro mundo, y más aún, mostramos que al menos existen infinitos infinitos.
SOBRE POTENCIAS Y RAÍCES: DOS OPERACIONES SOBRE EL MISMO FENÓMENO
1-POTENCIA DE
NÚMEROS NATURALES
La
potencia es una nueva operación matemática que aparece en la escuela
secundaria, pero esto no significa que sea difícil o algo totalmente nuevo.
Veamos qué significa potenciar un número.
Potenciar un número significa multiplicarlo varias veces por
él mismo, es decir, si quiero potenciar el 5 por ejemplo 3 veces, entonces
tengo que multiplicarlo 3 veces, o sea multiplicar 3 veces el 5:
\[5\times 5\times 5=125\]
De esta manera, podemos decir que potenciar un número es
multiplicar ese número una cierta cantidad de veces repetidas. Si pensamos
bien, esto es una cosa fácil de hacer. Ahora la pregunta que se nos viene a la
mente es ¿cómo escribimos una potencia en forma matemática? Por ejemplo, no
está bueno escribir “potenciar 3 veces el 5”, debe haber una forma más corta de
escribir esta operación matemática. Los matemáticos resuelven de manera muy
fácil las cosas de escritura y “potenciar 3 veces el 5” lo escriben de esta
manera:
\[5^3\]
El número que se encuentra arriba nos dice la cantidad de veces
que debemos multiplicar (potenciar) el número de abajo. Entonces, cada vez que
queramos potenciar un número, simplemente escribimos el número que queremos
potenciar y le colocamos la cantidad de veces que lo queremos multiplicar con
un numerito un poco más arriba.
Si pensamos un poco, vemos que la potencia no es otra cosa que
multiplicar repetidamente un mismo número. Miremos el siguiente ejemplo y
encontremos su potencia: “potenciar 6 veces el 2”, esto significa multiplicar 6
veces el 2 y se escribe de manera resumida así:
\[2^6\]
Si resolvemos esta potencia, quedaría:
\[2^6=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64\]
Recordemos que cuando hay muchas multiplicaciones por resolver,
vamos resolviendo de a dos números por vez, o sea $2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=4\times 4\times 4=64$.
Entonces ahora que sabemos qué es una potencia, pasemos al
concepto matemático.
Concepto: La potencia es una operación matemática entre dos números, uno llamado base y el otro llamado exponente. El exponente nos dice cuántas veces debemos multiplicar la base (esto lo llamamos potenciar la base).
En el ejemplo $2^6$, la base es el 2 y el exponente es el 6.
Una cosa importante que hay que notar es que $2^6$ no significa que tengo
que multiplicar el 2 con el 6, sino que significa que tenemos que multiplicar 6
veces el 2, no es lo mismo.
También podemos decir que la potencia sirve para escribir de
manera más resumida aquellas multiplicaciones en las que se repiten varias
veces el mismo número. Por ejemplo, si tenemos el siguiente cálculo
\[3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 + 2\times 2\times 2\times 2\times 2\]
En lugar de escribirlo
así, como una "super" multiplicación, podemos usar las potencias para que quede
más resumido, miremos que se puede usar potencia porque en los dos casos tenemos
una base que se repite, el 3 se repite 9 veces en el primer término y el 2 se
repite 5 veces en el segundo término. Entonces este cálculo se podría escribir
así:
\[3^9+2^5\]
¿Queda mejor no?
Ahora, miremos qué pasa si queremos potenciar solo una vez un
número. Por ejemplo, te piden potenciar 1 vez el 12. Esto sería escrito de esta
manera
\[12^1\]
Pero si nos damos cuenta, en este caso el exponente es 1, o sea
que tenemos que multiplicar una vez el 12, entonces no lo vamos a potenciar en
realidad, porque es un solo 12, por lo tanto nos queda lo mismo, o sea:
\[12^1=12\]
Por último, vamos ver como se lee una potencia (recordar cuál es
la base y cual es el exponente). Los exponentes se leen como números de orden
(primera, segunda, tercera, cuarta, etc.). Entonces, una potencia se lee “la
base a la exponente”. Por ejemplo, leemos las siguientes potencias:
$23^5$ se lee "veintitrés a la quinta".
$1^7$ se lee "uno a la séptima".
$2^4$ se lee "dos a la cuarta".
Ahora, cuando el exponente es un 2, no se suele usar “a la
segunda” sino “al cuadrado”. Por ejemplo:
$4^2$ es "cuatro al cuadrado".
$6^2$ es "seis al cuadrado".
Y cuando el exponente es un 3, no se suele leer “a la tercera”
sino “al cubo”. Por ejemplo:
$2^3$ es "dos al cubo".
$5^3$ es "cinco al cubo".
2-RADICACIÓN EN NÚMEROS NATURALES
Una vez que hemos entendido la
operación matemática de potenciar, podemos realizar la pregunta sobre el número
que debemos potenciar para obtener un determinado resultado. Por ejemplo,
podríamos preguntar ¿qué número debemos potenciar dos veces para obtener 9 de
resultado? Entonces, pensemos en la pregunta, nos habla de potenciar dos veces,
sabemos que eso significa multiplicar dos veces un mismo número. De esta
manera, la pregunta se reduce a encontrar un número que cuando lo
multipliquemos dos veces, nos dé 9 de resultado; es decir:
\[\square^2=\square\times\square=9\]
Debemos encontrar el
número que deberíamos colocar en el cuadradito, es importante que darse cuenta
que no podemos poner números diferentes, debe ser el mismo número multiplicado
dos veces porque potenciar significa justamente eso.
Entonces, si no se nos
ocurre algún número, debemos ir probando y ver cual cumple con lo que pedimos:
$1^2=1\times 1=1$ (no da 9, entonces el 1 no es la respuesta).
$2^2=2\times 2=4$ (no da 9, entonces el 2 no es la respuesta).
$3^2=3\times 3=9$ (el 3 es la respuesta).
Entonces, probando
número, encontramos la respuesta: el 3 es el número que debemos potenciar dos
veces para obtener 9 de resultado. Ahora, no está bueno tener que escribir una
pregunta muy larga cada vez que queremos averiguar un resultado, entonces viene
la escritura en forma matemática. La pregunta ¿qué número debemos
potenciar dos veces para obtener 9 de resultado? se escribe matemáticamente
así:
Esto es mucho mejor que
escribir una pregunta larga. Ahora, la respuesta a esa pregunta es el 3 como lo
habíamos visto, entonces escribimos:
\[\sqrt[2]{9}=3\]
Miremos otro ejemplo un
poco más difícil:
\[\sqrt[2]{49}\]
Esto nos pregunta ¿qué
número debemos potenciar 2 (dos) veces para que tengamos 49 de resultado?; para
contestar esto debemos buscar ese número. Si no se nos ocurre la respuesta,
debemos probar potenciando 2(dos) veces los números hasta ver cuál nos da 49 de
resultado:
$1^2=1\times 1=1$ (no es el 1 porque no da 49).
$2^2=2\times 2=4$ (no es el 2 porque no da 49).
$3^2=3\times 3=9$ (no es el 3 porque no da 49).
$4^2=4\times 4=16$ (no es el 4 porque no da 49).
$5^2=5\times 5=25$ (no es el 5 porque no da 49).
$6^2=6\times 6=36$ (no es el 6 porque no da 49).
$7^2=7\times 7=49$ (entonce el 7 es la respuesta porque $7^2=49$).
Entonces tenemos la
respuesta a la pregunta:
\[\sqrt[2]{49}=7\]
Conclusión: la
operación matemática que estamos realizando a través de las preguntas
anteriores se llama “raíz cuadrada”. Se llama raíz cuadrada porque estamos
pensando en potencias cuadradas.
De esta manera, podemos
realizar preguntas parecidas a la anterior: ¿qué número debemos potenciar 3
(tres) veces para obtener 64 de resultado? En este caso, debemos buscar el
número que multiplicado 3 veces nos de 64 de resultado, o sea buscar qué número
debemos colocar el en cuadradito:
\[\square^3=\square\times \square\times \square=64\]
En principio, si no se
nos ocurre, debemos buscar el número probando:
$1^3=1\times 1\times 1=1$ (no es el 1 porque no da 49).
$2^3=2\times 2\times 2=8$ (no es el 2 porque no da 49).
$3^3=3\times 3\times 3=27$ (no es el 3 porque no da 49).
$4^3=4\times 4\times 4=64$ (la respuesta es el 4, porque $4^3=64$).
Entonces la respuesta
de nuestra pregunta es el 4, y si escribimos matemáticamente la pregunta con su
respuesta, quedaría así:
Conclusión:
Esta operación matemática que estamos realizando se llama “raíz cubica” porque
estamos pensando en número potenciados al cubo.
Ahora vamos a ver el
concepto de radicación como una nueva operación matemática.
CONCEPTO:
la radicación es una operación matemática entre dos números, uno llamado índice
y otro llamado radicando.
La raíz es aquel número que potenciado la
cantidad de veces que indica el índice, da el radicando. Es decir, la raíz es
la respuesta a la pregunta que plantea la radicación.
En el ejemplo, la
pregunta es ¿Cuál es el número que potenciado tres veces, da 8? Tal número es
el 2.
La radicación se lee de la misma manera
que en las potencias:
$\sqrt[2]{25}$ se lee "raíz cuadrada de veinticinco".
$\sqrt[3]{64}$ se lee "raíz cúbica de sesenta y cuatro".
$\sqrt[4]{81}$ se lee "raíz cuarta de ochenta y uno";
y así sucesivamente. Miremos cual es el
resultado de las raíces anteriores:
$\sqrt[2]{25}=5$
$\sqrt[3]{64}=4$
$\sqrt[4]{81}=3$
FUNCIONES: LOS CUPIDOS DE LOS CONJUNTOS
La idea de función, en matemáticas, no siempre fue la misma, sino que el concepto fue evolucionando a través del tiempo. Es llamativo que en las escuelas se enseñan funciones matemáticas durante toda la escolaridad y más aún, nosotros las utilizamos incluso antes de ingresar en el sistema educativo. Las funciones aparecen de manera implícita durante muchos años de nuestras vidas, tal así, que recién en la escuela secundaria se las hace visibles; trabajamos implícitamente con funciones más de 12 años antes de sacarlas a la luz. Lo lamentable es que la mayoría de las veces, un alumno no llega a entender la idea abstracta de lo que es una función. En este artículo vamos a tratar de analizar el concepto de función y mostrar que siempre estamos en contacto con estos objetos, la matemática impregna todo lo que existe.
IDEA DE FUNCIÓN
En principio vamos a decir que una función es una manera de emparejar objetos (recordar esta idea) que existen o no en nuestro mundo físico. Esos objetos que queremos juntar deben existir en algún lado (podrían existir simplemente en nuestra mente), llamemos "conjunto" a ese "contenedor" de los objetos que queremos emparejar. Inicialmente, vamos a considerar que una función es una forma de asociar los objetos en un conjunto A con los objetos en un conjunto B; notar que estamos diciendo de manera implícita que los conjuntos A y B no están vacíos (si fuera así, no se podrían formar parejas). Ahora, existen muchas formas de unir objetos de A con los de B, pero no todas esas maneras pueden ser llamadas función. Para entender el concepto en cuestión, lo vamos a despedazar (me gustan las palabras gráficas). Una función de A a B debe cumplir las siguientes características.
- Dirección: significa que la función une elementos de A con elementos de B y no al revés, es decir que los elementos de A son los que buscan pareja y la función es la encargada de encontrarla dentro de B, en otras palabras, los objetos de B son emparejados (aunque no lo busquen) a los objetos de A; así, B es el conjunto de posibles parejas (candidatos/as) de los de A. Con esto último podemos decir que la función empieza en A y termina en B. Esta situación se puede escribir de la siguiente manera:\[A\to B; \qquad (\text{donde la flecha representa a la función})\]
- Unicidad: significa que la función toma un objeto dentro de A y lo encadena a un solo objeto en B. Entonces, a un elemento de A le toca una sola pareja en B, pero eso no quita que dos elementos distintos de A tengan la misma pareja. La unicidad significa que uno de A no tiene más de una pareja en B. Hablando en criollo, los de A son fieles y los de B pueden o no ser fieles a su pareja.
- Existencia: significa que todos los elementos de A tienen que tener pareja en B, es importante notar que esto no significa que todos los de B deban ser emparejados. La existencia de pareja debe estar asegurada para los objetos de A. En criollo, todos los de A se deben casar, pero eso no significa que todos los de B deben ser casados.
Entonces, una función es una forma de emparejar que cumple con estas tres características, debe tener dirección, unicidad y existencia. De nuevo, en criollo, una función es un cupido de conjuntos, que a cada (a todo) objeto de A le encuentra una y solo una pareja dentro de B, aunque no todos los de B hayan sido emparejados. En esta idea del cupido de conjuntos, podemos pensar la característica de la dirección de la siguiente manera (un poco de imaginación será necesaria): cupido ata uno de los extremos de una cadena a un objeto de A y el otro extremo lo ata a su flecha, luego elige a un único objeto de B, ajusta su puntería y le atraviesa el corazón de un flechazo (!se ha formado una pareja!); así lo hace con cada uno en A.
Después de estas explicaciones, deberían poder identificar cual de las dos imágenes es la representación de una función (al final podes comentar cuál es una función, cuál no y por qué):
Notar que tanto f como g es un emparejamiento de las letras dentro del conjunto A y los números dentro del conjunto B, pero sólo uno de ellos es una función. Esta forma de representar funciones se conoce como representación por diagramas de Venn, sin embargo, no es la única forma de representar emparejamientos.
DISTINTAS REPRESENTACIONES
Anteriormente ya vimos una forma de representación, aunque los diagramas de Venn no suelen ser muy útiles cuando queremos representar emparejamientos (y por lo tanto funciones) infinitos, es decir cuando los conjuntos A y B son infinitos (tienen infinitos elementos). Por suerte, en matemáticas existen muchas formas más de representar un emparejamiento, entre ellas, tenemos.
1) Lenguaje coloquial. Expresar verbalmente cómo se producen las asociaciones. Por ejemplo, en los conjuntos de la imagen de arriba, podemos establecer el siguiente emparejamiento: "las letras que son vocales se emparejan con el 2 y las consonantes con el 7". Este emparejamiento es una función si lo dibujamos en diagramas de Venn, quedaría:
Notar que f es función, ya que cada elemento de A, tiene una sola pareja en B, pero como habíamos mencionado, no significa que los elementos de B estén flechados a un solo elementos de A; por ejemplo el 7 tiene muchas parejas, pero cada una de sus parejas "ven" que tienen una sola pareja (el 7). En criollo, el 7 sale con todas las consonantes (es infiel) pero cada consonante solo con el 7 (son fieles).
Otro ejemplo de esta forma de representación y de establecer un emparejamiento, donde los conjuntos son infinitos podría ser: Sea A el conjunto de los números naturales y B el conjunto formado por las letras a y b. Definimos la función de la siguiente manera: los números pares se unen a la letra a y los impares a la letra b. Es importante que nos demos cuenta que en este caso no se pueden representar las infinitas flechas, entonces los diagramas de Venn no sirven para este ejemplo. Sería interesante que puedan ver que este emparejamiento es una función (los invitamos a pensar en ello).
2) Fórmulas matemáticas. Esta forma de unir objetos puede usarse tanto para conjuntos infinitos como para finitos. Se establece la función dando una fórmula (en lenguaje matemático) que al aplicarla sobre los elementos del conjunto de partida (en todo este artículo hemos usado el conjunto A) obtenemos un único elemento del conjunto de llegada (en nuestros ejemplos siempre ha sido B). En este método de representar funciones se deben explicitar los conjuntos, se debe poner nombre a la función (en general son las letras f,g,h etc. o letras griegas), y la fórmula dada por la función debe determinar para elemento del conjunto de partida una única pareja en el conjunto de llegada. En general se escribe de la siguiente manera:
\[f:A\to B\mid f(a)=b\]
A estas alturas, solo quiero entiendan que f(a)=b significa que la pareja de a es un cierto b.
Se pueden poner muchos ejemplos, pero prefiero colocar uno que sea sencillo de entender. Supongamos que nuestra función f asocie números naturales con números naturales, de tal manera que a cada número natural, lo empareja con el resultado de multiplicarlo por 2 (observar que estamos dando la representación en lenguaje coloquial). En fórmula matemática quedaría:
\[f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid f(n)=2n\]
Es fácil darse cuenta que esta función hace lo que habíamos mencionado anteriormente en lenguaje coloquial. Por ejemplo, la pareja del 6 seria f(6), pero f(6)=2.6=12 (siguiendo la fórmula), entonces el 6 está emparejado con el 12 (su resultado de multiplicarlo por 2). Así, podemos mostrar una gran cantidad de ejemplos de parejas según esta función, pero la idea es que se comprenda cómo la fórmula f(n)=2n determina todas las las parejas si vamos asignando un valor a la n en ella. Este tipo de forma de establecer una función es de las primeras que se nos presentan, de una manera mas amigable obviamente. Otra cosa importante acerca de esto es que podemos usar fórmulas para definir funciones siempre y cuando los objetos que trabajemos sean matemáticos y nos lo permitan.
4) Gráficos cartesianos. Se lo debemos a un matemático y filósofo francés, René Descartes, de ahí el nombre "cartesianos". Este tipo de representar funciones se usa para aquellas en que los conjuntos emparejados sean conjuntos numéricos. Consiste en trazar dos rectas perpendiculares (forman ángulos de 90°), una recta para el conjunto de partida A y otra para el conjunto de llegada B, luego se establece una escala (se coloca una métrica en cada recta) de manera que el plano (donde vamos a dibujar) queda cuadriculado (imaginariamente). Pero uno podría preguntar ¿dónde están las flechas, las parejas?. Bueno, en esta forma de representación se usan los puntos, un punto representa una pareja de dos números. Esta pareja de números se conoce como par ordenado (miren que su nombre lo dice todo). Un par ordenado es un objeto de la siguiente forma:
\[(a; b)\qquad \text{donde a esta en A y b está en B}\]
De esta manera (a;b) nos dice que la pareja del número a, es el número b, por eso son pares, además son ordenados porque establece que la flecha parte de a y llega a b, y no al revés, es decir (a;b) no es igual a (b;a) si los a y b son distintos.
Entonces, imaginemos que tenemos el gráfico de la siguiente función:
Si miramos los puntos (parejas) que se marcaron, vemos que en cada uno tenemos un par ordenado formado por número naturales. Ahora si agudizamos más la vista, podemos notar que las parejas (puntos) siempre son de la forma (n; 2n) es decir que la pareja de cada número natural es el resultado de multiplicarlo por 2; ¡¡es la función que vimos en forma de fórmula $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid f(n)=2n$ !!. Así es, una misma función vista en lenguaje coloquial, en fórmula y ahora en gráfico cartesiano, donde en este último los puntos representan las parejas; de hecho se ve claramente que la pareja del 6 es el 12 (como vimos anteriormente). Es importante que se den cuenta que este gráfico es sólo una pequeña parte de la función, ya que en realidad son infinitas parejas y por lo tanto infinitos puntos, lo cual no se puede dibujar en su totalidad.
Hasta acá, espero se hayan armado una idea de cuándo un emparejamiento que es una función y cuándo no lo es, también espero tengan claro las formas de establecer una función. En la siguiente sección, vamos a ver que hemos estado usando funciones desde que somos muy pequeños y además veremos que los primeros ejemplos de funciones que aprendemos, se condicen con las primeras que fueron apareciendo en la antigüedad.
LAS FUNCIONES SIEMPRE ESTUVIERON Y SIEMPRE ESTARÁN
Si bien, en la historia del humano antiguo (antes de nuestra era) no se hallan registros de una definición de función como la que hemos dado al inicio del artículo, si hay registros de operaciones matemáticas que implicaban una cierta idea de función.
Notemos que desde que somos muy pequeños, realizamos emparejamientos tan primitivos (del mismo modo lo habrá realizado el ser humano en sus albores evolutivos) que si analizamos bien, alguno de ellos pueden ser funciones.
Si pensamos, los bebés tardan algunos meses en identificar a los demás objetos (incluidos sus progenitores) como algo externo a ellos. Si buscamos un poco más, un bebé tarda un año aproximadamente en pronunciar su primera palabra a la cual le asigna un sentido o significado; un sonido emitido por él mismo (o algún objeto externo) como el de "mamá" adquiere un significado único por un tiempo, "mamá es ese objeto externo (su madre)". Luego aparecerán otros sonidos (palabras) que tendrán asociado un significado físico y mental, pero ¿es esto una función?. Podríamos dar una respuesta afirmativa si se restringe bastante los conjuntos que se están emparejando, los sonidos (palabras y no palabras) que emite el bebé y el conjunto de posibles significados. Si el bebé solo pudiera emitir palabras con un significado único, esto sería una función. Sin embargo, los posibles sonidos que puede realizar un bebé son muchos (¿infinitos?) pero no todos tienen un significado asociado, por lo tanto, existen elementos del conjunto de partida que no tendrían pareja en el conjunto de llegada (el conjunto de significados). Más aún, suponiendo que no podemos decir cosas sin sentido (todos los sonidos tienen significado), tampoco se podría establecer una función, ya que en este caso todas las palabras tienen significado (existencia de pareja) pero no necesariamente tiene un único significado (no cumple con la unicidad). Se trata de un emparejamiento pero no de una función.
Veamos ahora otra de las asignaciones más antiguas que realizamos como especie, el contar. Contar es una forma de asignar un número natural a un conjunto de objetos. Por ejemplo si se tiene un conjunto A={a, b, s, c, w, f}, al contar la cantidad de objetos que tiene dentro, vemos que son 6, entonces podemos emparejarlo con el número 6. Lo interesante es que nosotros lo realizamos de manera tan natural, contar es inherente al humano (el nacimiento de las matemáticas estaba predeterminado por nuestra naturaleza); esta es la actividad matemática más antigua realizada por el hombre. El acto de contar, no es otra cosa que un emparejamiento entre dos conjuntos, uno de ellos es el conjunto de números naturales $\mathbb{N}_0$ (los que se usan para contar) y el otro conjunto (lo llamaremos P) es un poco mas difícil de describir, pero lo vamos a intentar. Supongamos que se tiene un conjunto donde los objetos que tiene dentro son otros conjuntos más pequeños (los cuales son discretos, o sea tienen un cierto número finito de elementos), o sea un conjunto de conjuntos. Entonces, dentro de ese conjunto P, hay conjuntos de todo tipo (los que se puedan imaginar), finitos, vacíos, infinitos, de números, de letras, de cualquier cosa. Luego, dentro P vamos agrupando los conjuntos de acuerdo a la cantidad de elementos que tienen, es decir, vamos formando grupos de conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos; habrán conjuntos con 2 elementos, otros con 25 elementos, otros con infinitos elementos, todos agrupados de acuerdo a la cantidad de elementos que contienen. Pero, agrupar significa formar conjuntos, entonces dentro de P tendremos subconjuntos que tienen dentro conjuntos con la misma cantidad de elementos, llamaremos P(0) al grupo de conjuntos con ningún elemento, P(1) es el grupo de conjuntos con un solo elemento, así P(n) es el grupo de conjuntos con n elementos (n es un número natural); la formación de cada grupo se realiza de manera inductiva (el siguiente grupo es el formado por conjuntos con un elemento más que en el anterior). De esta manera, se tiene que P puede verse como el conjunto
\[P=\{P(0), P(1), P(2),..., P(n),....\}\]
Es importante aclarar que los puntos suspensivos indican que hay infinitos grupos P(.). Entonces, aquí es claro el emparejamiento que realizamos al contar, por ejemplo, cuando decimos que en un montón de cosas hay 4 (importante que ese montón, conjunto, puede estar formado por cosas de cualquier tipo), en realidad ese montón está dentro del grupo P(4) y nosotros le asignamos el número 4. Para alguien con un poco de matemáticas en su haber, la función ya es visible, aunque vamos a explicitarla aquí, establecemos el siguiente emparejamiento entre el conjunto P y $\mathbb{N}_0$ : a cada grupo P(n) le asignamos el número natural n y a P(0) se le asigna el 0.
Esta forma de unir los elementos de P con los de $\mathbb{N}_0$ es una función, ya que cumple con las tres características (sería ideal que piensen en ello y lo vean claramente). De este modo, algo tan natural como el contar, es una función matemática que aparece en nuestras vidas incluso antes de entrar en el sistema educativo y nos acompaña hasta el fin de nuestros días.
Algo tan obvio como contar es una función y así aparecen muchas más que no las vemos como tales, por ejemplo sumar y multiplicar o restar y dividir (bajo ciertas condiciones). Todas ellas, son utilizadas por nosotros mucho antes que las funciones se hagan explícitas en la escuela secundaria, de hecho, aún haciéndolas explícitas, no siempre tomamos conciencia de su existencia.
De esta manera, es posible encontrar infinidad de ejemplos de funciones en nuestra vida cotidiana, siempre que podamos establecer de manera explícita los conjuntos y la forma en la que se determinan las parejas, cumpla con las tres características de una función.
Para finalizar, le dejamos una pregunta para seguir investigando sobre estos objetos matemáticos: En los conjuntos A y B de los ejemplos de arriba (en las imágenes), ¿cuántas funciones se pueden definir?
Existencia de la solución de una ecuación lineal de primer grado y una incógnita
En este artículo se muestra la condición necesaria y suficiente para que una ecuación lineal de primer grado y de una sola incógnita tenga solución única, luego se muestran ejemplos resueltos.
Inicialmente, una ecuación es una igualdad entre dos miembros, donde estos miembros están formados por expresiones algebraicas (expresiones donde hay números representados por letras), donde la igualdad establece una condición a cumplir para esos números escritos como letras. La solución de una ecuación, en caso de que exista, es el valor numérico que debe adquirir la o las incógnitas. Por ejemplo, la siguiente igualdad es una ecuación:
\[2x-45=1\]
Notar que 2x significa "dos veces x", o sea en este caso el 2 está multiplicado al número x, aunque no es necesario colocar el signo de la multiplicación. Esta igualdad es una ecuación, ya que establece una condición para el valor que debe tener el número incógnito x. Es fácil darse cuenta que x no puede valer cualquier número, porque si decimos que x=50, tendríamos que nuestra igualdad no se cumple porque
\begin{align*}2x-45&=1\\
2.50-45&=1\\
100-45&=1\\
55&=1\qquad (\text{lo cual no es cierto})\\
\end{align*}
Ahora, si decimos que x=23, entonces ahora vemos que sí se cumple la igualdad:
\begin{align*}2x-45&=1\\
2.23-45&=1\\
46-45&=1\\
1&=1\\
\end{align*}
Entonces, como se ve en el ejemplo, una ecuación establece una condición sobre la incógnita; esta condición puede establecer que la ecuación tenga o no solución. Otra cosa que hay que aclarar es que una vez que colocamos el valor a la o las incógnitas, debemos colocar el símbolo de la multiplicación si es que la incógnita/s está/n multiplicadas por algún numero. Esto último es bastante obvio, ya que si tenemos en alguna parte de la ecuación 2x y decimos que x=23, entonces a la hora de verificar si se cumple la igualdad ponemos 223 en lugar de 2.23, tendríamos el número 223 y no el resultado de multiplicar 2.23=46.
No todas las ecuaciones tienen solución, pero se puede saber si una ecuación tendrá o no solución.
Afirmación 1: Toda ecuación lineal de la forma ax=c tiene solución única siempre que a≠0.
Demostración: Sean a≠ 0 y c números reales. Luego en la ecuación ax=c dividimos a ambos miembros por a (esto se puede hacer solo porque a≠0, ya que no existe la división por 0) y la ecuación queda:
\begin{align*}ax&=c\\
\dfrac{ax}{a}&=\dfrac{c}{a}\\
x&=\dfrac{c}{a}\\
\end{align*}
Entonces, la ecuación tiene solución $x=\dfrac{c}{a}$ . Notar que esta solución existe, ya que se puede dividir al número $c$ por el número $a\neq 0$.$\square$
Ahora, que sabemos como identificar si una ecuación de la forma ax=c tiene solución, y además sabemos cómo encontrar la solución, vamos a ver que cualquier ecuación lineal se puede escribir de esa forma.
Afirmación 2: Sean a,b,c,d números reales. Entonces toda ecuación de la forma ax+b=cx+d se puede transformar en una ecuación de la forma Ax=C, donde A,C son números reales.
Demostración: Notar que en la ecuación ax+b=cx+d, se puede restar a ambos miembros el mismo número b+cx y queda:\begin{align*}
ax+b&=cx+d\\
ax+b-(b+cx)&=cx+d-(b+cx)\\
ax+b-b-cx&=cx+d-b-cx\qquad\text{(aplicamos la regla de signos para paréntesis)}\\
ax+0-cx&=d-b+0\qquad\text{(porque $b-b=0$ y $cx-cx=0$)}\\
ax-cx&=d-b\\
(a-c)x&=d-b\qquad\text{(Propiedad distributiva: $ax-cx=(a-c)x$)}\\
\end{align*}
Entonces, miremos que si ponemos A=a-c y C=d-b, luego A,C son números y la ecuación inicial queda:
\begin{align*}
(a-c)x&=d-b\qquad\text{($A=a-c$, $C=d-b$)}\\
Ax&=C\\
\end{align*}
Con esto demostramos que la ecuación ax+b=cx-d se puede transformar en la ecuación Ax=C.$\square$
Ahora, si tenemos una ecuación de la forma ax+b=cx+d, podemos usar la Afirmación 2 para transformarla en la ecuación Ax=C, donde A=a-c y C=d-b. Además por la Afirmación 1 sabemos que la ecuación Ax=C tiene solución cuando A≠0, la cual es $x=\dfrac{C}{A}$ , podemos afirmar que la ecuación ax+b=cx-d, tiene solución cuando A=a-c≠0, o sea cuando a≠c; si ese es el caso, la solución sería $x=\dfrac{C}{A}=\dfrac{d-b}{a-c}$.
Si vemos el ejemplo que dimos al inicio, es claro que a=2, b=-45, c=0, d=1, por lo tanto tiene solución, ya que a≠c y la solución es $x=\dfrac{1-(-45)}{2-0}=\dfrac{1+45}{2}=\dfrac{46}{2}=23$.
Combinando la Afirmación 1 y la Afirmación 2, tenemos un método para solucionar el ejemplo:
\begin{align}
2x+3x-2+32&=10-3x-40\\
2x-45+45&=1+45\\
2x&=46\\
x&=\dfrac{46}{2}\\
x&=23\\
\end{align}
Es decir, se trata de transformar la ecuación en otra que sea de la forma Ax=C, para así calcular la solución mediante la Afirmación 1, siempre que A≠0.
Vemos un ejemplo un poco mas elaborado: Decidir si la siguiente ecuación tiene solución o no, en caso de tenerla, encontrarla y verificar que es solución: 2x+3x-2+32=10-3x-40.
Solución:
\[2x+3x-2+32=10-3x-40\]
Opero a ambos miembros el mismo número dado por la expresión +2-32+3x. Notar que esto se hace para eliminar todos los números sin incógnitas del miembro izquierdo y también para eliminar todos los términos con incógnitas del miembro derecho. Es fundamental operar la misma cantidad a ambos miembros para poder mantener la igualdad. Entonces la ecuación queda:
\[2x+3x-2+32+2-32+3x=10-3x-40+2-32+3x\]
\[2x+3x+3x=10-40+2-32\]
\[8x=-60\]
Ahora, la ecuación quedó como en la Afirmación 1, entonces la solución es:
\[x=\dfrac{-60}{8}\]
\[x=\dfrac{-15}{2}\]
Para verificar si $x=\dfrac{-15}{2}$ es la solución, reemplazamos x por su valor en cada miembro de la ecuación en cuestión y miramos si se da la igualdad:
2x+3x-2+32&=10-3x-40\\
2.(\dfrac{-15}{2})+3.(\dfrac{-15}{2})-2+32&=10-3.(\dfrac{-15}{2})-40\\
-15-\dfrac{45}{2}-2+32&=10+\dfrac{45}{2}-40\\
\dfrac{-15}{2}&=\dfrac{-15}{2}\\
\end{align}
Por lo tanto, la solución es correcta.
"En $\mathbb{R}$ no hay divisores de cero"
En un artículo anterior a este, mencioné una afirmación tan evidente que decía algo así: "Si multiplico números que no son nulos, entonces el resultado tampoco lo es." En esta publicación veremos que esto es siempre cierto para el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ , aclaro que no siempre es cierto esto, pero lo veremos en otro artículo.
Antes de empezar, es necesario entender qué es una prueba o demostración de una afirmación. Si lo llevamos a la vida cotidiana, imaginemos que alguien nos está juzgando sobre la veracidad de lo que decimos. Luego, en esta hipotética situación, queremos convencer a quien nos juzga, de que decimos la verdad. Entonces, lo que hacemos (la mayoría de las personas lo hace) es tratar de explicar con hechos la situación y tratar de que el juez deduzca que lo que decimos es verdad. En matemáticas, probar algo, se hace de manera similar, sólo que hay ciertas condiciones sobre el lenguaje en que escribimos y además la forma en que establecemos las deducciones, se siguen reglas lógicas básicas y el lenguaje matemático, combinados en un método que denominamos "método lógico deductivo". Ahora bien, considero que probar algo tan básico como lo de arriba, no requiere de tanta rigurosidad en cuanto a la escritura, ya que pretendo que cualquiera pueda entenderlo. Sin embargo, habrán otros artículos en los que se realizarán pruebas muy rigurosas.
Entonces, pasemos a demostrar la veracidad de la afirmación del primer párrafo (creo que muchos que lo lean, verán que es algo muy obvio y que no requiere prueba). Primero debemos transformarla de manera que podamos operar matemáticamente. La proposición habla de la multiplicación de números cualquiera que no sean cero, necesito como mínimo dos de ellos, los llamaremos a y b, de tal manera que ninguno es cero. Entonces, la afirmación queda: "Si a≠0 y b≠0 , entonces a.b≠0."
Ahora, hay varias formas de probar eso pero en este caso vamos a usar el "método por contradicción". Esta forma de probar afirmaciones consiste en suponer que la conclusión del razonamiento es errónea y esperar que suponer esto, nos lleve a contradecir lo que supusimos. En palabras simples, la aparición de la contradicción en lo que habíamos supuesto nos permite determinar que nuestra suposición (que la conclusión estaba errada) esta equivocada y por lo tanto, la conclusión debe ser correcta, ya no puede ser que sea correcta e incorrecta al mismo tiempo; en matemáticas las cosas son ciertas o falsas, pero no ambas (esto puede ser discutido en realidad). Ahora en criollo, supongan que mentimos ante un juez diciendo que "no vimos nada" (este supone que es verdad lo que decimos) y luego, al final de nuestro relato, llegamos a contradecirnos, entonces el juez va a darse cuenta que lo que habíamos dicho al principio era una mentira y por lo tanto la verdad es lo opuesto a lo que afirmamos al inicio.
Entonces, vamos a suponer que hay un par de números a≠0 y b≠0, de manera que a.b=0. Luego en la igualdad a.b=0, dividimos por b a ambos miembros (esto se puede hacer porque b≠0), entonces nos queda:
\begin{align*}a.b&=0\\
a.(b:b)&=0:b\\
a.1&=0 \qquad\qquad (\text{$0$ dividido por algo que no sea $0$, da $0$ y $b$ dividido $b$ es $1$})\\
a&=0\qquad\qquad (\text{al multiplicar $a$ por $1$, nos vuelve a dar $a$})
\end{align*}
Notar que aquí obtuvimos una contradicción a lo que supusimos, porque habíamos supuesto que a≠0 (de la misma manera podemos llegar a que b=0) y, esta contradicción se hizo posible porque asumimos que la conclusión de la afirmación estaba mal (a.b=0 siendo los factores no nulos). Por lo tanto es cierto que a.b≠0 para cualquier par de números a y b no nulos simultáneamente.
Para finalizar, mencionamos que este hecho que ocurre con los números reales $\mathbb{R}$ es una cualidad de ellos y se conoce como la "inexistencia de divisores de cero en $\mathbb{R}$" .
"Todo número no nulo elevado a la cero, da uno"
Durante nuestra escolaridad, alguna vez estuvimos frente a la resolución de una potencia donde el "numerito de arriba" era cero y quienes estaban a cargo de la asignatura matemática nos decía "todo número no nulo elevado a la cero, da uno", y nosotros solo debíamos confiar en ello. En este artículo vamos a tratar de mostrar de manera muy simplificada, el por qué una potencia de exponente 0 (cero) y base no nula (cualquier número que no sea 0 (cero)), da 1 (uno) como resultado.
Primero, vamos a realizar la afirmación de manera matemática: "Supongamos que tengo un número a que no es cero, entonces $a^0=1$ ." Ahora, vamos a ver que esto siempre es cierto.
Demostración (en matemáticas siempre se escribe esto antes de mostrar que algo es cierto):
Sea el número a, de tal manera que no es cero. Entonces, notar que si multiplicamos a las veces que queramos, por ejemplo 3 veces (a.a.a), nunca el resultado va a dar cero (si no me crees, te invito a buscar un número que no sea cero y que lo multipliques 3 veces y que el resultado sea 0). Mostrar que una multiplicación de dos o mas números da cero sólo cuando alguno de ellos es cero, es tema para otro artículo.
Ahora, otra cosa que debemos notar es que usando la notación de las potencias ocurre lo siguiente:
\[a^n\times a^m=a^{n+m}, \qquad donde \qquad n,m\in \mathbb{N}\]
Esto es siempre cierto sin importar cuales sean los exponentes naturales n y m. Por ejemplo: si tomamos a=2, n=2 y m=3, se tiene
\[2^2\times 2^3= 2\times 2\times 2\times 2\times 2= 2^5\]
Es decir, que multiplicar 2 veces el 2 (o sea $2^2$ ) y luego multiplicarle 3 veces mas el 2 (o sea $2^3$ ), es básicamente multiplicar en total 5 veces el 2 (o sea $2^5$ ). Esto, se cumple para cualquier base y exponentes.
Entonces, usando ese hecho, podríamos pensar cuánto debería valer x para que se de la siguiente igualdad:
\[a^n\times a^x=a^n\]
Espero vean claramente que debe ser x=0, ya que el miembro derecho nos dice que no se agregaron mas a's, es decir da lo mismo que las $a^n$ que teníamos. En un ejemplo, podemos preguntar sobre el exponente que debemos poner en lugar de la x para que de lo mismo que teníamos:
\[2^5\times 2^x=2^{5+x}=2^5=2^{2+3};\]
luego x=0, ya que no agregamos ningún 2 más. Entonces, volviendo a la demostración, ahora sabemos que
\[a^n\times a^0=a^{n+0}=a^n;\]
y además sabemos que $a^n$ no es cero. Por lo tanto tenemos que pensar en qué número debo multiplicarle al $a^n$ para que me vuelva a dar el mismo número $a^n$ . En nuestro ejemplo, sería pensar cuanto debe valer $2^0$ para que
\[2^5\times 2^0=2^5\]
Si recordamos, que un número (que no sea el cero) multiplicado por 1 siempre vuelve a dar el mismo número (por ejemplo $32\times 1=32$ ) y que eso sólo pasa cuando multiplicamos por 1, ya tenemos la respuesta a nuestra cuestión:
\[a^n\times a^0=a^n,\qquad \text{siempre que $a^0=1$.}\]
Dicho de otra manera, $a^0=1$ sin importar cuánto valga a siempre que no sea cero. En nuestro ejemplo podemos ver lo mismo:
\begin{align*}2^5\times 2^0&=2^5\\
(2\times 2\times 2\times 2\times 2)\times 2^0&=2\times 2\times 2\times 2\times 2\\
32\times 2^0&=32 \qquad\qquad \text{($32\times x=32$ siempre que $x=1$)}\\
2^0&=1
\end{align*}
POTENCIAR NO ES SOLO MULTIPLICAR
En la escuela secundaria, la mayoría de los alumnos se encuentran ante dos nuevas operaciones aritméticas, la potenciación y la radicación. En este artículo nos vamos a ocupar de la primera de ellas.
En particular, calcular potencias es relativamente sencillo, ya que tiene que ver con la multiplicación, una operación que se practica mucho en el nivel primario, pero esto ¿es realmente así?. En principio, podríamos afirmar que la multiplicación de números es otro número de la misma clase, esto es tan obvio para nosotros que lo damos por cierto siempre, y de hecho es así, esa es una cualidad de los conjuntos numéricos clásicos (la multiplicación es una operación cerrada en ellos). Entonces, de todas las multiplicaciones que se pueden hacer en los conjuntos numéricos, podemos enfocar la vista en el primer conjunto numérico que aprendemos, el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ . En este conjunto, la multiplicación es una suma iterativa escrita de manera resumida. Por ejemplo: $3\times 5$ es sumar 3 veces el 5, o bien 5 veces el 3, o sea:
\[3\times 5= 5+5+5=15=3+3+3+3+3=5\times 3.\]
Esta es una característica de la multiplicación, se pueden cambiar de lugares los factores (números que se multiplican) y el resultado es el mismo; recordar esta cualidad.
Notar que la multiplicación aparece en nuestras vidas como un tipo particular de suma, son aquellas en la que sumamos un mismo número una cierta cantidad de veces. Entonces, podríamos razonar nuevamente de la misma manera pero esta vez sobre la multiplicación. En este sentido, de todas las multiplicaciones posibles (sumas iterativas resumidas) podríamos pensar solamente en aquellas en las que operamos repetidamente un mismo número, o sea, multiplicar un mismo número una cierta cantidad de veces. Sin entrar en detalles aún, a estas multiplicaciones, las llamaremos potencias. Surge la pregunta, ¿la potencia es una operación nueva o es simplemente una multiplicación?. La idea de operación nueva puede analizarse filosofalmente, pero trataremos de darle el mérito a las potencias para ser tratadas como una nueva operación matemática.
Ahora, teniendo en cuenta estos productos repetitivos (potencias), podemos dar un ejemplo con los mismo números de arriba. Pensemos en multiplicar 3 veces el 5 (notar que arriba decíamos "sumar 3 veces el 5") y resolverla como suma:
\begin{align*}
5\times(5\times 5)&=5\times(5+5+5+5+5)=5\times 25\\
&=25+25+25+25+25=125
\end{align*}
\begin{align*}
5\times(5\times 5)&=5\times(5+5+5+5+5)=5\times 25\\
&=25+25+25+25+25=125
\end{align*}
En principio, no da el mismo resultado que $3\times 5$ , por lo tanto no parece ser una simple multiplicación como habíamos visto en la primaria. Notar que usamos los mismo números que en el primer ejemplo y además multiplicamos (usamos la suma repetida), pero no da el mismo resultado. Reitero, mismos números en los enunciados, se resuelve con sumas repetidas, pero no da el mismo resultado. La diferencia fundamental está en la palabra que se usa en el enunciado, inicialmente dijimos "sumar 3 veces el 5" y luego fue "multiplicar 3 veces el 5"; aunque la multiplicación sea una suma, el segundo enunciado se puede escribir con la palabra "sumar", pero quedaría así: "sumar 5 veces el resultado de sumar 5 veces el 5". Además, si nos damos cuenta, rápidamente podemos ver que hay algo que no ocurre como en la multiplicación, aunque estemos multiplicando, no se puede cambiar de lugar los números y esperar que obtengamos el mismo resultado. Observar que si multiplicamos 5 veces el 3, obtenemos:
\[ 3\times (3\times 3)\times (3\times 3)= 3\times (9\times 9)=3\times 81=243\]
O sea, multiplicar 3 veces el 5 no es lo mismo que multiplicar 5 veces el 3, como si pasaba en el caso de sumar 3 veces el 5 (el primer ejemplo). Entonces, en este tipo particular de multiplicaciones, no se vale cambiar de lugar los números y esperar el mismo resultado. Son multiplicaciones pero no las podemos tratar como a una cualquiera, habrá que tener cuidado con ellas, ya no son como las que nos enseñaron alguna vez, son muy particulares. Entonces, las potencias (ya mencionamos este nombre mas arriba) son multiplicaciones, se resuelven multiplicando pero no son como las multiplicaciones de siempre, se puede decir que son más restrictivas en algunos sentidos. Por ahora sabemos que no se puede cambiar de lugar los números en los enunciados y además siempre se multiplica el mismo número.
Bien, ahora que recordamos un poco de las primeras multiplicaciones que aprendimos en nuestra vida (la de números naturales) y vimos que hay unas muy particulares, llamadas potencias, que difieren de las primeras en cierto sentido, podemos dar una definición un poco más acertada y una forma de escribir los enunciados de las potencias. Diremos que la potenciación de exponente natural es una operación binaria (relaciona dos números) entre la base y el exponente, donde el resultado es el producto de la base tantas veces como indica el exponente. A la hora de escribir una potencia, no podemos escribirla usando la multiplicación (aunque sea realmente un tipo de ella), y por lo tanto usamos la siguiente notación
\[b^n;\qquad \text{donde}\qquad b,n\in \mathbb{N};\]esto significa, "multiplicar n veces b". Además es fácil ver que casi nunca se da que
\[b^n\neq n\times b,\]
sólo hay un par de casos en que si se da la igualdad.
De esta manera, damos nacimiento a la operación matemática llamada potenciación, la cual es una multiplicación resumida. Los ejemplos que se dieron anteriormente se escriben
\[5^3=5\times 5\times 5=125;\]
\[3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243\]
\[3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243\]
Para cerrar, podemos realizar la siguiente diferenciación: "la multiplicación es sumar repetidamente un mismo número y la potenciación es sumar repetidamente el mismo resultado de una suma repetida de un mismo número; ambas son sumas pero no se suma de la misma manera."
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