Existencia de la solución de una ecuación lineal de primer grado y una incógnita

En este artículo se muestra la condición necesaria y suficiente para que una ecuación lineal de primer grado y de una sola incógnita tenga solución única, luego se muestran ejemplos resueltos.

Inicialmente, una ecuación es una igualdad entre dos miembros, donde estos miembros están formados por expresiones algebraicas (expresiones donde hay números representados por letras), donde la igualdad establece una condición a cumplir para esos números escritos como letras. La solución de una ecuación, en caso de que exista, es el valor numérico que debe adquirir la o las incógnitas. Por ejemplo, la siguiente igualdad es una ecuación:

\[2x-45=1\]

Notar que 2x significa "dos veces x", o sea en este caso el 2 está multiplicado al número x, aunque no es necesario colocar el signo de la multiplicación. Esta igualdad es una ecuación, ya que establece una condición para el valor que debe tener el número incógnito x. Es fácil darse cuenta que x no puede valer cualquier número, porque si decimos que x=50, tendríamos que nuestra igualdad no se cumple porque

\begin{align*}
2x-45&=1\\
2.50-45&=1\\
100-45&=1\\
55&=1\qquad (\text{lo cual no es cierto})\\
\end{align*}

Ahora, si decimos que x=23, entonces ahora vemos que sí se cumple la igualdad:

\begin{align*}
2x-45&=1\\
2.23-45&=1\\
46-45&=1\\
1&=1\\
\end{align*}

Entonces, como se ve en el ejemplo, una ecuación establece una condición sobre la incógnita; esta condición puede establecer que la ecuación tenga o no solución. Otra cosa que hay que aclarar es que una vez que colocamos el valor a la o las incógnitas, debemos colocar el símbolo de la multiplicación si es que la incógnita/s está/n multiplicadas por algún numero. Esto último es bastante obvio, ya que si tenemos en alguna parte de la ecuación 2x y decimos que x=23, entonces a la hora de verificar si se cumple la igualdad ponemos 223 en lugar de 2.23, tendríamos el número 223 y no el resultado de multiplicar 2.23=46.

No todas las ecuaciones tienen solución, pero se puede saber si una ecuación tendrá o no solución.

Afirmación 1: Toda ecuación lineal de la forma ax=c tiene solución única siempre que a≠0.

Demostración: Sean a≠ 0 y c números reales. Luego en la ecuación ax=c dividimos a ambos miembros por a (esto se puede hacer solo porque a≠0, ya que no existe la división por 0) y la ecuación queda:

\begin{align*}
ax&=c\\
\dfrac{ax}{a}&=\dfrac{c}{a}\\
 x&=\dfrac{c}{a}\\
\end{align*}

Entonces, la ecuación tiene solución $x=\dfrac{c}{a}$ . Notar que esta solución existe, ya que se puede dividir al número $c$ por el número $a\neq 0$.$\square$

Ahora, que sabemos como identificar si una ecuación de la forma ax=c tiene solución, y además sabemos cómo encontrar la solución, vamos a ver que cualquier ecuación lineal se puede escribir de esa forma.

Afirmación 2: Sean a,b,c,d números reales. Entonces toda ecuación de la forma ax+b=cx+d se puede transformar en una ecuación de la forma Ax=C, donde A,C son números reales.

Demostración: Notar que en la ecuación ax+b=cx+d, se puede restar a ambos miembros el mismo número b+cx y queda:
\begin{align*}
ax+b&=cx+d\\
ax+b-(b+cx)&=cx+d-(b+cx)\\
ax+b-b-cx&=cx+d-b-cx\qquad\text{(aplicamos la regla de signos para paréntesis)}\\
ax+0-cx&=d-b+0\qquad\text{(porque $b-b=0$ y $cx-cx=0$)}\\
ax-cx&=d-b\\
(a-c)x&=d-b\qquad\text{(Propiedad distributiva: $ax-cx=(a-c)x$)}\\
\end{align*}
Entonces, miremos que si ponemos A=a-c y C=d-b, luego A,C son números y la ecuación inicial queda:
\begin{align*}
(a-c)x&=d-b\qquad\text{($A=a-c$, $C=d-b$)}\\
Ax&=C\\
\end{align*}

Con esto demostramos que la ecuación ax+b=cx-d se puede transformar en la ecuación Ax=C.$\square$

Ahora, si tenemos una ecuación de la forma ax+b=cx+d, podemos usar la Afirmación 2 para transformarla en la ecuación Ax=C, donde A=a-c y C=d-b. Además por la Afirmación 1 sabemos que la ecuación Ax=C tiene solución cuando A≠0, la cual es $x=\dfrac{C}{A}$ , podemos afirmar que la ecuación ax+b=cx-d, tiene solución cuando A=a-c≠0, o sea cuando a≠c; si ese es el caso, la solución sería $x=\dfrac{C}{A}=\dfrac{d-b}{a-c}$.

Si vemos el ejemplo que dimos al inicio, es claro que a=2, b=-45, c=0, d=1, por lo tanto tiene solución, ya que a≠c y la solución es $x=\dfrac{1-(-45)}{2-0}=\dfrac{1+45}{2}=\dfrac{46}{2}=23$. 

Combinando la Afirmación 1 y la Afirmación 2, tenemos un método para solucionar el ejemplo:

\begin{align}
2x+3x-2+32&=10-3x-40\\
2x-45+45&=1+45\\
2x&=46\\
x&=\dfrac{46}{2}\\
x&=23\\
\end{align}
Es decir, se trata de transformar la ecuación en otra que sea de la forma Ax=C, para así calcular la solución mediante la Afirmación 1, siempre que A≠0. 

Vemos un ejemplo un poco mas elaborado: Decidir si la siguiente ecuación tiene solución o no, en caso de tenerla, encontrarla y verificar que es solución: 2x+3x-2+32=10-3x-40.

Solución:

\[2x+3x-2+32=10-3x-40\]

Opero a ambos miembros el mismo número dado por la expresión +2-32+3x. Notar que esto se hace para eliminar todos los números sin incógnitas del miembro izquierdo y también para eliminar todos los términos con incógnitas del miembro derecho. Es fundamental operar la misma cantidad a ambos miembros para poder mantener la igualdad. Entonces la ecuación queda:

\[2x+3x-2+32+2-32+3x=10-3x-40+2-32+3x\]

\[2x+3x+3x=10-40+2-32\]

\[8x=-60\]

Ahora, la ecuación quedó como en la Afirmación 1, entonces la solución es:

\[x=\dfrac{-60}{8}\]

\[x=\dfrac{-15}{2}\]

Para verificar si $x=\dfrac{-15}{2}$ es la solución, reemplazamos x por su valor en cada miembro de la ecuación en cuestión y miramos si se da la igualdad:

\begin{align}
2x+3x-2+32&=10-3x-40\\
2.(\dfrac{-15}{2})+3.(\dfrac{-15}{2})-2+32&=10-3.(\dfrac{-15}{2})-40\\
-15-\dfrac{45}{2}-2+32&=10+\dfrac{45}{2}-40\\
\dfrac{-15}{2}&=\dfrac{-15}{2}\\
\end{align}
Por lo tanto, la solución es correcta.