UNICIDAD DEL 1 Y DEL 0

Una característica interesante que poseen los números que conocemos es la unicidad de los elementos neutros de la suma y el producto. Un número es neutro de una operación cuando al operarlo con otro, no lo cambia. En este sentido, el 0 es neutro en la suma y el 1 es neutro en el producto. Esto es obvio porque la suma de un número y el 0, devuelve el mismo número; lo mismo ocurre si multiplicamos un número con el 1. Esta idea de neutralidad se puede interpretar fácilmente como la ausencia de valor en el cero y como la ausencia de multiplicidad del 1. Ahora, podríamos preguntarnos si hay algún otro número que sea neutro para la suma o bien para la multiplicación. En este artículo vamos a dar un argumento para ver que los neutros mencionados son únicos, es decir, no hay otro/s.

Los argumentos para demostrar que los neutros mencionados son únicos, se basan en el método por contradicción; suponemos que no son únicos, es decir que hay al menos otro neutro distinto y al final vemos que son iguales, es decir, una contradicción a lo supuesto. La contradicción establece que no puede haber otro neutro que no sea el 0 o el 1, en la suma o el producto respectivamente, ya que sino tendríamos una afirmación verdadera y falsa al mismo tiempo. Pasemos a las pruebas anticipando que son muy similares.

Afirmación 1: El 0 es el único número neutro para la suma.

Demostración: Supongamos que hay otro elemento neutro distinto del cero, lo llamaremos c. En principio, por nuestra suposición c no es igual al 0, pero si tenemos en cuenta que ambos son neutros tendremos lo siguiente:

\[0=0+c=c\]

donde la primera igualdad es porque c es neutro y la segunda igualdad porque el 0 es neutro. Pero entonces, hemos llegado a que 0=c, contradiciendo lo que habíamos supuesto, que 0 es distinto de c. Por lo tanto, no puede ser que haya otro neutro para la suma, sólo puede ser el 0, ya que si hay otro neutro, resulta ser igual al 0 (el mismo 0 pero enmascarado).

Afirmación 2: El 1 es el único número neutro para el producto.

Demostración: Nuevamente supongamos que hay otro neutro distinto del 1, lo llamamos u. Luego, como ambos son neutros para el producto, se tiene que:

\[1=1.u=u\]

Siguiendo la misma línea que en la Afirmación 1, tenemos que 1=u. Por lo tanto si encontramos otro neutro para el producto, no será otro mas que simplemente el 1, esto significa que el 1 es el único neutro multiplicativo.

Observación

Es hecho luego se generaliza aún más, el neutro siempre será único para un conjunto con una operación binaria cerrada que posea las cualidades de ser asociativo, tener neutro y poder invertir los elementos; este conjunto con la operación se denominan Grupo. Como ejemplo, los números reales cumplen estas cualidades con la suma y también con la multiplicación (pero quitando el cero de sus elementos), es por esto que se ve la unicidad de los neutros.