"En $\mathbb{R}$ no hay divisores de cero"

En un artículo anterior a este, mencioné una afirmación tan evidente que decía algo así: "Si multiplico números que no son nulos, entonces el resultado tampoco lo es." En esta publicación veremos que esto es siempre cierto para el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ , aclaro que no siempre es cierto esto, pero lo veremos en otro artículo.

Antes de empezar, es necesario entender qué es una prueba o demostración de una afirmación. Si lo llevamos a la vida cotidiana, imaginemos que alguien nos está juzgando sobre la veracidad de lo que decimos. Luego, en esta hipotética situación, queremos convencer a quien nos juzga, de que decimos la verdad. Entonces, lo que hacemos (la mayoría de las personas lo hace) es tratar de explicar con hechos la situación y tratar de que el juez deduzca que lo que decimos es verdad. En matemáticas, probar algo, se hace de manera similar, sólo que hay ciertas condiciones sobre el lenguaje en que escribimos y además la forma en que establecemos las deducciones, se siguen reglas lógicas básicas y el lenguaje matemático, combinados en un método que denominamos "método lógico deductivo". Ahora bien, considero que probar algo tan básico como lo de arriba, no requiere de tanta rigurosidad en cuanto a la escritura, ya que pretendo que cualquiera pueda entenderlo. Sin embargo, habrán otros artículos en los que se realizarán pruebas muy rigurosas. 

Entonces, pasemos a demostrar la veracidad de la afirmación del primer párrafo (creo que muchos que lo lean, verán que es algo muy obvio y que no requiere prueba). Primero debemos transformarla de manera que podamos operar matemáticamente. La proposición habla de la multiplicación de números cualquiera que no sean cero, necesito como mínimo dos de ellos, los llamaremos a y b, de tal manera que ninguno es cero. Entonces, la afirmación queda: "Si a≠0 y b≠0  , entonces a.b≠0."

Ahora, hay varias formas de probar eso pero en este caso vamos a usar el "método por contradicción". Esta forma de probar afirmaciones consiste en suponer que la conclusión del razonamiento es errónea y esperar que suponer esto, nos lleve a contradecir lo que supusimos. En palabras simples, la aparición de la contradicción en lo que habíamos supuesto nos permite determinar que nuestra suposición (que la conclusión estaba errada) esta equivocada y por lo tanto, la conclusión debe ser correcta, ya no puede ser que sea correcta e incorrecta al mismo tiempo; en matemáticas las cosas son ciertas o falsas, pero no ambas (esto puede ser discutido en realidad). Ahora en criollo, supongan que mentimos ante un juez diciendo que "no vimos nada" (este supone que es verdad lo que decimos) y luego, al final de nuestro relato, llegamos a contradecirnos, entonces el juez va a darse cuenta que lo que habíamos dicho al principio era una mentira y por lo tanto la verdad es lo opuesto a lo que afirmamos al inicio.

Entonces, vamos a suponer que hay un par de números a≠0 y b≠0, de manera que a.b=0. Luego en la igualdad a.b=0, dividimos por b a ambos miembros (esto se puede hacer porque b≠0), entonces nos queda:

$$\begin{align*} a.b&=0\\ a.(b:b)&=0:b\\ a.1&=0 \qquad\qquad (\text{$0$ dividido por algo que no sea $0$, da $0$ y $b$ dividido $b$ es $1$})\\ a&=0\qquad\qquad (\text{al multiplicar $a$ por $1$, nos vuelve a dar $a$}) \end{align*}$$

Notar que aquí obtuvimos una contradicción a lo que supusimos, porque habíamos supuesto que a≠0 (de la misma manera podemos llegar a que b=0) y, esta contradicción se hizo posible porque asumimos que la conclusión de la afirmación estaba mal (a.b=0 siendo los factores no nulos). Por lo tanto es cierto que a.b≠0 para cualquier par de números a y b no nulos simultáneamente. 

Para finalizar, mencionamos que este hecho que ocurre con los números reales $\mathbb{R}$  es una cualidad de ellos y se conoce como la "inexistencia de divisores de cero en $\mathbb{R}$" .