POTENCIAR NO ES SOLO MULTIPLICAR

En la escuela secundaria, la mayoría de los alumnos se encuentran ante dos nuevas operaciones aritméticas, la potenciación y la radicación. En este artículo nos vamos a ocupar de la primera de ellas.

En particular, calcular potencias es relativamente sencillo, ya que tiene que ver con la multiplicación, una operación que se practica mucho en el nivel primario, pero esto ¿es realmente así?.  En principio, podríamos afirmar que la multiplicación de números es otro número de la misma clase, esto es tan obvio para nosotros que lo damos por cierto siempre, y de hecho es así, esa es una cualidad de los conjuntos numéricos clásicos (la multiplicación es una operación cerrada en ellos). Entonces, de todas las multiplicaciones que se pueden hacer en los conjuntos numéricos, podemos enfocar la vista en el primer conjunto numérico que aprendemos, el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ . En este conjunto, la multiplicación es una suma iterativa escrita de manera resumida. Por ejemplo: $3\times 5$    es sumar 3 veces el 5, o bien 5 veces el 3, o sea:

\[3\times 5= 5+5+5=15=3+3+3+3+3=5\times 3.\]

Esta es una característica de la multiplicación, se pueden cambiar de lugares los factores (números que se multiplican) y el resultado es el mismo; recordar esta cualidad.

Notar que la multiplicación aparece en nuestras vidas como un tipo particular de suma, son aquellas en la que sumamos un mismo número una cierta cantidad de veces. Entonces, podríamos razonar nuevamente de la misma manera pero esta vez sobre la multiplicación. En este sentido, de todas las multiplicaciones posibles (sumas iterativas resumidas) podríamos pensar solamente en aquellas en las que operamos repetidamente un mismo número, o sea, multiplicar un mismo número una cierta cantidad de veces. Sin entrar en detalles aún, a estas multiplicaciones, las llamaremos potencias. Surge la pregunta, ¿la potencia es una operación nueva o es simplemente una multiplicación?. La idea de operación nueva puede analizarse filosofalmente, pero trataremos de darle el mérito a las potencias para ser tratadas como una nueva operación matemática.

Ahora, teniendo en cuenta estos productos repetitivos (potencias), podemos dar un ejemplo con los mismo números de arriba. Pensemos en multiplicar 3 veces el 5 (notar que arriba decíamos "sumar 3 veces el 5") y resolverla como suma:
\begin{align*}
5\times(5\times 5)&=5\times(5+5+5+5+5)=5\times 25\\
&=25+25+25+25+25=125
\end{align*}

En principio, no da el mismo resultado que $3\times 5$  , por lo tanto no parece ser una simple multiplicación como habíamos visto en la primaria. Notar que usamos los mismo números que en el primer ejemplo y además multiplicamos (usamos la suma repetida), pero no da el mismo resultado. Reitero, mismos números en los enunciados, se resuelve con sumas repetidas, pero no da el mismo resultado. La diferencia fundamental está en la palabra que se usa en el enunciado, inicialmente dijimos "sumar 3 veces el 5" y luego fue "multiplicar 3 veces el 5"; aunque la multiplicación sea una suma, el segundo enunciado se puede escribir con la palabra "sumar", pero quedaría así: "sumar 5 veces el resultado de sumar 5 veces el 5".   Además, si nos damos cuenta, rápidamente podemos ver que hay algo que no ocurre como en la multiplicación, aunque estemos multiplicando, no se puede cambiar de lugar los números y esperar que obtengamos el mismo resultado. Observar que si multiplicamos 5 veces el 3, obtenemos:

\[ 3\times (3\times 3)\times (3\times 3)= 3\times (9\times 9)=3\times 81=243\]

O sea, multiplicar 3 veces el 5 no es lo mismo que multiplicar 5 veces el 3, como si pasaba en el caso de sumar 3 veces el 5 (el primer ejemplo). Entonces, en este tipo particular de multiplicaciones, no se vale cambiar de lugar los números y esperar el mismo resultado. Son multiplicaciones pero no las podemos tratar como a una cualquiera, habrá que tener cuidado con ellas, ya no son como las que nos enseñaron alguna vez, son muy particulares. Entonces, las potencias (ya mencionamos este nombre mas arriba) son multiplicaciones, se resuelven multiplicando pero no son como las multiplicaciones de siempre, se puede decir que son más restrictivas en algunos sentidos. Por ahora sabemos que no se puede cambiar de lugar los números en los enunciados y además siempre se multiplica el mismo número.

Bien, ahora que recordamos un poco de las primeras multiplicaciones que aprendimos en nuestra vida (la de números naturales) y vimos que hay unas muy particulares, llamadas potencias, que difieren de las primeras en cierto sentido, podemos dar una definición un poco más acertada y una forma de escribir los enunciados de las potencias. Diremos que la potenciación de exponente natural es una operación binaria (relaciona dos números) entre la base y el exponente, donde el resultado es el producto de la base tantas veces como indica el exponente. A la hora de escribir una potencia, no podemos escribirla usando la multiplicación (aunque sea realmente un tipo de ella), y por lo tanto usamos la siguiente notación

\[b^n;\qquad \text{donde}\qquad b,n\in \mathbb{N};\]
esto significa, "multiplicar n veces b". Además es fácil ver que casi nunca se da que
\[b^n\neq n\times b,\]
sólo hay un par de casos en que si se da la igualdad.

De esta manera, damos nacimiento a la operación matemática llamada potenciación, la cual es una multiplicación resumida. Los ejemplos que se dieron anteriormente se escriben

\[5^3=5\times 5\times 5=125;\]
\[3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243\]

Para cerrar, podemos realizar la siguiente diferenciación: "la multiplicación es sumar repetidamente un mismo número y la potenciación es sumar repetidamente el mismo resultado de una suma repetida de un mismo número; ambas son sumas pero no se suma de la misma manera."