"Todo número no nulo elevado a la cero, da uno"

Durante nuestra escolaridad, alguna vez estuvimos frente a la resolución de una potencia donde el "numerito de arriba" era cero y quienes estaban a cargo de la asignatura matemática nos decía "todo número no nulo elevado a la cero, da uno", y nosotros solo debíamos confiar en ello. En este artículo vamos a tratar de mostrar de manera muy simplificada, el por qué una potencia de exponente 0 (cero) y base no nula (cualquier número que no sea 0 (cero)), da 1 (uno) como resultado.

Primero, vamos a realizar la afirmación de manera matemática: "Supongamos que tengo un número a que no es cero, entonces $a^0=1$ ." Ahora, vamos a ver que esto siempre es cierto.

Demostración (en matemáticas siempre se escribe esto antes de mostrar que algo es cierto):

Sea el número a, de tal manera que no es cero. Entonces, notar que si multiplicamos a las veces que queramos, por ejemplo 3 veces (a.a.a), nunca el resultado va a dar cero (si no me crees, te invito a buscar un número que no sea cero y que lo multipliques 3 veces y que el resultado sea 0). Mostrar que una multiplicación de dos o mas números da cero sólo cuando alguno de ellos es cero, es tema para otro artículo.

Ahora, otra cosa que debemos notar es que usando la notación de las potencias ocurre lo siguiente:

\[a^n\times a^m=a^{n+m}, \qquad donde \qquad n,m\in \mathbb{N}\]

Esto es siempre cierto sin importar cuales sean los exponentes naturales n y m. Por ejemplo: si tomamos a=2, n=2 y m=3, se tiene

\[2^2\times 2^3= 2\times 2\times 2\times 2\times 2= 2^5\]

Es decir, que multiplicar 2 veces el 2 (o sea $2^2$ ) y luego multiplicarle 3 veces mas el 2 (o sea $2^3$ ), es básicamente multiplicar en total 5 veces el 2 (o sea $2^5$ ). Esto, se cumple para cualquier base y exponentes.

Entonces, usando ese hecho, podríamos pensar cuánto debería valer x para que se de la siguiente igualdad:

\[a^n\times a^x=a^n\]

Espero vean claramente que debe ser x=0, ya que el miembro derecho nos dice que no se agregaron mas a's, es decir da lo mismo que las  $a^n$  que teníamos. En un ejemplo, podemos preguntar sobre el exponente que debemos poner en lugar de la x para que de lo mismo que teníamos:

\[2^5\times 2^x=2^{5+x}=2^5=2^{2+3};\]

luego x=0, ya que no agregamos ningún 2 más. Entonces, volviendo a la demostración, ahora sabemos que

\[a^n\times a^0=a^{n+0}=a^n;\]

y además sabemos que $a^n$  no es cero. Por lo tanto tenemos que pensar en qué número debo multiplicarle al $a^n$  para que me vuelva a dar el mismo número $a^n$ . En nuestro ejemplo, sería pensar cuanto debe valer $2^0$  para que

\[2^5\times 2^0=2^5\] 

Si recordamos, que un número (que no sea el cero) multiplicado por 1 siempre vuelve a dar el mismo número (por ejemplo $32\times 1=32$     ) y que eso sólo pasa cuando multiplicamos por 1, ya tenemos la respuesta a nuestra cuestión:

\[a^n\times a^0=a^n,\qquad \text{siempre que $a^0=1$.}\]

Dicho de otra manera, $a^0=1$  sin importar cuánto valga a siempre que no sea cero. En nuestro ejemplo podemos ver lo mismo:

\begin{align*}
2^5\times 2^0&=2^5\\
(2\times 2\times 2\times 2\times 2)\times 2^0&=2\times 2\times 2\times 2\times 2\\
32\times 2^0&=32 \qquad\qquad \text{($32\times x=32$ siempre que $x=1$)}\\
2^0&=1
\end{align*}