La idea de función, en matemáticas, no siempre fue la misma, sino que el concepto fue evolucionando a través del tiempo. Es llamativo que en las escuelas se enseñan funciones matemáticas durante toda la escolaridad y más aún, nosotros las utilizamos incluso antes de ingresar en el sistema educativo. Las funciones aparecen de manera implícita durante muchos años de nuestras vidas, tal así, que recién en la escuela secundaria se las hace visibles; trabajamos implícitamente con funciones más de 12 años antes de sacarlas a la luz. Lo lamentable es que la mayoría de las veces, un alumno no llega a entender la idea abstracta de lo que es una función. En este artículo vamos a tratar de analizar el concepto de función y mostrar que siempre estamos en contacto con estos objetos, la matemática impregna todo lo que existe.
IDEA DE FUNCIÓN
En principio vamos a decir que una función es una manera de emparejar objetos (recordar esta idea) que existen o no en nuestro mundo físico. Esos objetos que queremos juntar deben existir en algún lado (podrían existir simplemente en nuestra mente), llamemos "conjunto" a ese "contenedor" de los objetos que queremos emparejar. Inicialmente, vamos a considerar que una función es una forma de asociar los objetos en un conjunto A con los objetos en un conjunto B; notar que estamos diciendo de manera implícita que los conjuntos A y B no están vacíos (si fuera así, no se podrían formar parejas). Ahora, existen muchas formas de unir objetos de A con los de B, pero no todas esas maneras pueden ser llamadas función. Para entender el concepto en cuestión, lo vamos a despedazar (me gustan las palabras gráficas). Una función de A a B debe cumplir las siguientes características.
- Dirección: significa que la función une elementos de A con elementos de B y no al revés, es decir que los elementos de A son los que buscan pareja y la función es la encargada de encontrarla dentro de B, en otras palabras, los objetos de B son emparejados (aunque no lo busquen) a los objetos de A; así, B es el conjunto de posibles parejas (candidatos/as) de los de A. Con esto último podemos decir que la función empieza en A y termina en B. Esta situación se puede escribir de la siguiente manera:\[A\to B; \qquad (\text{donde la flecha representa a la función})\]
- Unicidad: significa que la función toma un objeto dentro de A y lo encadena a un solo objeto en B. Entonces, a un elemento de A le toca una sola pareja en B, pero eso no quita que dos elementos distintos de A tengan la misma pareja. La unicidad significa que uno de A no tiene más de una pareja en B. Hablando en criollo, los de A son fieles y los de B pueden o no ser fieles a su pareja.
- Existencia: significa que todos los elementos de A tienen que tener pareja en B, es importante notar que esto no significa que todos los de B deban ser emparejados. La existencia de pareja debe estar asegurada para los objetos de A. En criollo, todos los de A se deben casar, pero eso no significa que todos los de B deben ser casados.
Entonces, una función es una forma de emparejar que cumple con estas tres características, debe tener dirección, unicidad y existencia. De nuevo, en criollo, una función es un cupido de conjuntos, que a cada (a todo) objeto de A le encuentra una y solo una pareja dentro de B, aunque no todos los de B hayan sido emparejados. En esta idea del cupido de conjuntos, podemos pensar la característica de la dirección de la siguiente manera (un poco de imaginación será necesaria): cupido ata uno de los extremos de una cadena a un objeto de A y el otro extremo lo ata a su flecha, luego elige a un único objeto de B, ajusta su puntería y le atraviesa el corazón de un flechazo (!se ha formado una pareja!); así lo hace con cada uno en A.
Después de estas explicaciones, deberían poder identificar cual de las dos imágenes es la representación de una función (al final podes comentar cuál es una función, cuál no y por qué):
Notar que tanto f como g es un emparejamiento de las letras dentro del conjunto A y los números dentro del conjunto B, pero sólo uno de ellos es una función. Esta forma de representar funciones se conoce como representación por diagramas de Venn, sin embargo, no es la única forma de representar emparejamientos.
DISTINTAS REPRESENTACIONES
Anteriormente ya vimos una forma de representación, aunque los diagramas de Venn no suelen ser muy útiles cuando queremos representar emparejamientos (y por lo tanto funciones) infinitos, es decir cuando los conjuntos A y B son infinitos (tienen infinitos elementos). Por suerte, en matemáticas existen muchas formas más de representar un emparejamiento, entre ellas, tenemos.
1) Lenguaje coloquial. Expresar verbalmente cómo se producen las asociaciones. Por ejemplo, en los conjuntos de la imagen de arriba, podemos establecer el siguiente emparejamiento: "las letras que son vocales se emparejan con el 2 y las consonantes con el 7". Este emparejamiento es una función si lo dibujamos en diagramas de Venn, quedaría:
Notar que f es función, ya que cada elemento de A, tiene una sola pareja en B, pero como habíamos mencionado, no significa que los elementos de B estén flechados a un solo elementos de A; por ejemplo el 7 tiene muchas parejas, pero cada una de sus parejas "ven" que tienen una sola pareja (el 7). En criollo, el 7 sale con todas las consonantes (es infiel) pero cada consonante solo con el 7 (son fieles).
Otro ejemplo de esta forma de representación y de establecer un emparejamiento, donde los conjuntos son infinitos podría ser: Sea A el conjunto de los números naturales y B el conjunto formado por las letras a y b. Definimos la función de la siguiente manera: los números pares se unen a la letra a y los impares a la letra b. Es importante que nos demos cuenta que en este caso no se pueden representar las infinitas flechas, entonces los diagramas de Venn no sirven para este ejemplo. Sería interesante que puedan ver que este emparejamiento es una función (los invitamos a pensar en ello).
2) Fórmulas matemáticas. Esta forma de unir objetos puede usarse tanto para conjuntos infinitos como para finitos. Se establece la función dando una fórmula (en lenguaje matemático) que al aplicarla sobre los elementos del conjunto de partida (en todo este artículo hemos usado el conjunto A) obtenemos un único elemento del conjunto de llegada (en nuestros ejemplos siempre ha sido B). En este método de representar funciones se deben explicitar los conjuntos, se debe poner nombre a la función (en general son las letras f,g,h etc. o letras griegas), y la fórmula dada por la función debe determinar para elemento del conjunto de partida una única pareja en el conjunto de llegada. En general se escribe de la siguiente manera:
\[f:A\to B\mid f(a)=b\]
A estas alturas, solo quiero entiendan que f(a)=b significa que la pareja de a es un cierto b.
Se pueden poner muchos ejemplos, pero prefiero colocar uno que sea sencillo de entender. Supongamos que nuestra función f asocie números naturales con números naturales, de tal manera que a cada número natural, lo empareja con el resultado de multiplicarlo por 2 (observar que estamos dando la representación en lenguaje coloquial). En fórmula matemática quedaría:
\[f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid f(n)=2n\]
Es fácil darse cuenta que esta función hace lo que habíamos mencionado anteriormente en lenguaje coloquial. Por ejemplo, la pareja del 6 seria f(6), pero f(6)=2.6=12 (siguiendo la fórmula), entonces el 6 está emparejado con el 12 (su resultado de multiplicarlo por 2). Así, podemos mostrar una gran cantidad de ejemplos de parejas según esta función, pero la idea es que se comprenda cómo la fórmula f(n)=2n determina todas las las parejas si vamos asignando un valor a la n en ella. Este tipo de forma de establecer una función es de las primeras que se nos presentan, de una manera mas amigable obviamente. Otra cosa importante acerca de esto es que podemos usar fórmulas para definir funciones siempre y cuando los objetos que trabajemos sean matemáticos y nos lo permitan.
4) Gráficos cartesianos. Se lo debemos a un matemático y filósofo francés, René Descartes, de ahí el nombre "cartesianos". Este tipo de representar funciones se usa para aquellas en que los conjuntos emparejados sean conjuntos numéricos. Consiste en trazar dos rectas perpendiculares (forman ángulos de 90°), una recta para el conjunto de partida A y otra para el conjunto de llegada B, luego se establece una escala (se coloca una métrica en cada recta) de manera que el plano (donde vamos a dibujar) queda cuadriculado (imaginariamente). Pero uno podría preguntar ¿dónde están las flechas, las parejas?. Bueno, en esta forma de representación se usan los puntos, un punto representa una pareja de dos números. Esta pareja de números se conoce como par ordenado (miren que su nombre lo dice todo). Un par ordenado es un objeto de la siguiente forma:
\[(a; b)\qquad \text{donde a esta en A y b está en B}\]
De esta manera (a;b) nos dice que la pareja del número a, es el número b, por eso son pares, además son ordenados porque establece que la flecha parte de a y llega a b, y no al revés, es decir (a;b) no es igual a (b;a) si los a y b son distintos.
Entonces, imaginemos que tenemos el gráfico de la siguiente función:
Si miramos los puntos (parejas) que se marcaron, vemos que en cada uno tenemos un par ordenado formado por número naturales. Ahora si agudizamos más la vista, podemos notar que las parejas (puntos) siempre son de la forma (n; 2n) es decir que la pareja de cada número natural es el resultado de multiplicarlo por 2; ¡¡es la función que vimos en forma de fórmula $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid f(n)=2n$ !!. Así es, una misma función vista en lenguaje coloquial, en fórmula y ahora en gráfico cartesiano, donde en este último los puntos representan las parejas; de hecho se ve claramente que la pareja del 6 es el 12 (como vimos anteriormente). Es importante que se den cuenta que este gráfico es sólo una pequeña parte de la función, ya que en realidad son infinitas parejas y por lo tanto infinitos puntos, lo cual no se puede dibujar en su totalidad.
Hasta acá, espero se hayan armado una idea de cuándo un emparejamiento que es una función y cuándo no lo es, también espero tengan claro las formas de establecer una función. En la siguiente sección, vamos a ver que hemos estado usando funciones desde que somos muy pequeños y además veremos que los primeros ejemplos de funciones que aprendemos, se condicen con las primeras que fueron apareciendo en la antigüedad.
LAS FUNCIONES SIEMPRE ESTUVIERON Y SIEMPRE ESTARÁN
Si bien, en la historia del humano antiguo (antes de nuestra era) no se hallan registros de una definición de función como la que hemos dado al inicio del artículo, si hay registros de operaciones matemáticas que implicaban una cierta idea de función.
Notemos que desde que somos muy pequeños, realizamos emparejamientos tan primitivos (del mismo modo lo habrá realizado el ser humano en sus albores evolutivos) que si analizamos bien, alguno de ellos pueden ser funciones.
Si pensamos, los bebés tardan algunos meses en identificar a los demás objetos (incluidos sus progenitores) como algo externo a ellos. Si buscamos un poco más, un bebé tarda un año aproximadamente en pronunciar su primera palabra a la cual le asigna un sentido o significado; un sonido emitido por él mismo (o algún objeto externo) como el de "mamá" adquiere un significado único por un tiempo, "mamá es ese objeto externo (su madre)". Luego aparecerán otros sonidos (palabras) que tendrán asociado un significado físico y mental, pero ¿es esto una función?. Podríamos dar una respuesta afirmativa si se restringe bastante los conjuntos que se están emparejando, los sonidos (palabras y no palabras) que emite el bebé y el conjunto de posibles significados. Si el bebé solo pudiera emitir palabras con un significado único, esto sería una función. Sin embargo, los posibles sonidos que puede realizar un bebé son muchos (¿infinitos?) pero no todos tienen un significado asociado, por lo tanto, existen elementos del conjunto de partida que no tendrían pareja en el conjunto de llegada (el conjunto de significados). Más aún, suponiendo que no podemos decir cosas sin sentido (todos los sonidos tienen significado), tampoco se podría establecer una función, ya que en este caso todas las palabras tienen significado (existencia de pareja) pero no necesariamente tiene un único significado (no cumple con la unicidad). Se trata de un emparejamiento pero no de una función.
Veamos ahora otra de las asignaciones más antiguas que realizamos como especie, el contar. Contar es una forma de asignar un número natural a un conjunto de objetos. Por ejemplo si se tiene un conjunto A={a, b, s, c, w, f}, al contar la cantidad de objetos que tiene dentro, vemos que son 6, entonces podemos emparejarlo con el número 6. Lo interesante es que nosotros lo realizamos de manera tan natural, contar es inherente al humano (el nacimiento de las matemáticas estaba predeterminado por nuestra naturaleza); esta es la actividad matemática más antigua realizada por el hombre. El acto de contar, no es otra cosa que un emparejamiento entre dos conjuntos, uno de ellos es el conjunto de números naturales $\mathbb{N}_0$ (los que se usan para contar) y el otro conjunto (lo llamaremos P) es un poco mas difícil de describir, pero lo vamos a intentar. Supongamos que se tiene un conjunto donde los objetos que tiene dentro son otros conjuntos más pequeños (los cuales son discretos, o sea tienen un cierto número finito de elementos), o sea un conjunto de conjuntos. Entonces, dentro de ese conjunto P, hay conjuntos de todo tipo (los que se puedan imaginar), finitos, vacíos, infinitos, de números, de letras, de cualquier cosa. Luego, dentro P vamos agrupando los conjuntos de acuerdo a la cantidad de elementos que tienen, es decir, vamos formando grupos de conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos; habrán conjuntos con 2 elementos, otros con 25 elementos, otros con infinitos elementos, todos agrupados de acuerdo a la cantidad de elementos que contienen. Pero, agrupar significa formar conjuntos, entonces dentro de P tendremos subconjuntos que tienen dentro conjuntos con la misma cantidad de elementos, llamaremos P(0) al grupo de conjuntos con ningún elemento, P(1) es el grupo de conjuntos con un solo elemento, así P(n) es el grupo de conjuntos con n elementos (n es un número natural); la formación de cada grupo se realiza de manera inductiva (el siguiente grupo es el formado por conjuntos con un elemento más que en el anterior). De esta manera, se tiene que P puede verse como el conjunto
\[P=\{P(0), P(1), P(2),..., P(n),....\}\]
Es importante aclarar que los puntos suspensivos indican que hay infinitos grupos P(.). Entonces, aquí es claro el emparejamiento que realizamos al contar, por ejemplo, cuando decimos que en un montón de cosas hay 4 (importante que ese montón, conjunto, puede estar formado por cosas de cualquier tipo), en realidad ese montón está dentro del grupo P(4) y nosotros le asignamos el número 4. Para alguien con un poco de matemáticas en su haber, la función ya es visible, aunque vamos a explicitarla aquí, establecemos el siguiente emparejamiento entre el conjunto P y $\mathbb{N}_0$ : a cada grupo P(n) le asignamos el número natural n y a P(0) se le asigna el 0.
Esta forma de unir los elementos de P con los de $\mathbb{N}_0$ es una función, ya que cumple con las tres características (sería ideal que piensen en ello y lo vean claramente). De este modo, algo tan natural como el contar, es una función matemática que aparece en nuestras vidas incluso antes de entrar en el sistema educativo y nos acompaña hasta el fin de nuestros días.
Algo tan obvio como contar es una función y así aparecen muchas más que no las vemos como tales, por ejemplo sumar y multiplicar o restar y dividir (bajo ciertas condiciones). Todas ellas, son utilizadas por nosotros mucho antes que las funciones se hagan explícitas en la escuela secundaria, de hecho, aún haciéndolas explícitas, no siempre tomamos conciencia de su existencia.
De esta manera, es posible encontrar infinidad de ejemplos de funciones en nuestra vida cotidiana, siempre que podamos establecer de manera explícita los conjuntos y la forma en la que se determinan las parejas, cumpla con las tres características de una función.
Para finalizar, le dejamos una pregunta para seguir investigando sobre estos objetos matemáticos: En los conjuntos A y B de los ejemplos de arriba (en las imágenes), ¿cuántas funciones se pueden definir?
