En este artículo vamos a tratar un concepto, o mejor dicho idea, que tenemos y formamos de manera intuitiva durante nuestra vida: el infinito. Seguramente si alguien nos preguntara ¿qué es el infinito?, tendríamos una respuesta: "algo muy grande, algo infinito, infinitamente grande". Sin embargo, cuando nos preguntamos realmente ¿qué es? y tratáramos de determinarlo exactamente con una definición, no podríamos. En realidad, se dice que infinito es un adjetivo, una propiedad de algo, aunque también se lo puede tratar como un sustantivo. En principio, las matemáticas nos permiten lograr un mayor entendimiento del infinito en términos de tamaño, muchas personas desconocen que existen infinitos infinitos (la misma palabra como adjetivo y sustantivo al mismo tiempo). Por otro lado, también nos permite tratar al infinito como un lugar, que existe matemáticamente pero es imposible imaginarlo.
Un objetivo principal de éste artículo es lograr que los lectores queden convencidos de que no hay un único infinito. Otro objetivo es dejar muchas preguntas en sus mentes, tratando de imaginar cómo es el infinito.
NO HAY UN ÚNICO INFINITO
En esta sección vamos a tratar de mostrar que al menos hay dos infinitos distintos y por lo tanto uno es mayor que el otro. Usaremos los conjuntos numéricos.
En esta sección vamos a tratar de mostrar que al menos hay dos infinitos distintos y por lo tanto uno es mayor que el otro. Usaremos los conjuntos numéricos.
Los primeros números que aprendemos son los números naturales, o sea los números que usamos para contar. Si pensamos en el conjunto de los números naturales (se denota con N), es casi obvio que es infinito. Si no te convences de este hecho, lo vamos a hacer con el siguiente razonamiento.
El conjunto de los número naturales se construye de manera inductiva, esto quiere decir que tiene un primer elemento y luego, los demás números se construyen agregando 1 al inmediatamente anterior. Esta manera de construir un número natural permite afirmar que si n es natural, entonces n+1 también lo es y que además es distinto de n. Ahora vamos a ver que N es infinito, para ello vamos a suponer que no es así, es decir que existe una cantidad finita de números naturales. Supongamos que el mayor número natural es un cierto n, es decir que suponemos que no hay otro natural mayor que n. Ahora, por la definición de los naturales, si n es natural, entonces n+1 es también natural. Luego n no es el mayor natural como habíamos supuesto, ya que n+1 es mayor que n, encontramos una contradicción. Esta contradicción surge de suponer que N es finito. Por lo tanto, no puede ser que N sea finito, entonces ha de ser infinito. Es más, este razonamiento lo pueden hacer sin pensar de manera abstracta. Si aún no se convencen de que N es infinito, entonces han de pensar que hay un número más grande que todos los demás, súmenle 1 y listo, ya tienen uno más grande, este proceso se puede repetir siempre, y por lo tanto nunca van a tener un natural que sea mayor que todos los demás. Así, concluimos que N tiene la cualidad de ser infinito y además podemos afirmar con certeza que cualquier conjunto que incluya a N dentro de sí, será también infinito. Por otro lado, otra conclusión que se desprende como corolario de esta evidencia es que el infinito no puede ser un número natural, ya que si lo fuera, caeríamos de nuevo en la misma contradicción, ya que si al infinito le agregamos 1, sigue siendo el mismo infinito y por lo tanto violaría la forma de construir números naturales. Más aún, el infinito no puede ser un número ya que no se comporta de la misma manera bajo las operaciones básicas.
Ahora que sabemos que hay infinitos números naturales, podemos poner
\[N=\{1,2,3,...\},\]
donde los puntos suspensivos implican que la lista de números no termina nunca. Es necesario destacar que estamos viendo al infinito como un adjetivo ("que no tiene fin ni límite"), una cualidad de los conjuntos referida a la cantidad de elementos que tienen; esto se conoce en matemáticas como "cardinalidad". De hecho, N posee el menor infinito posible; la prueba de esto es relativamente sencilla pero escapa al fin de este artículo. En realidad, nosotros vamos para el otro lado, intentamos ver que hay al menos un infinito mayor que el de N.
Bien, en este momento podemos pensar qué pasa con los demás conjuntos numéricos. En principio miremos qué pasa si al conjunto de los números naturales lo ampliamos agregándole el cero y sus opuestos, es decir, formamos el conjunto de los números enteros (se denota con una Z). Ya sabemos que Z es infinito, por lo que dijimos anteriormente, luego podemos poner:
\[Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\]
Notar que hay tantos naturales opuestos (negativos) como naturales, por eso los puntos suspensivos al inicio y al final del conjunto. Por lo tanto el infinito de los negativos es igual al de los positivos, pero ¿qué pasa sobre la cantidad de números que contiene Z? Al principio muchos podrían afirmar que Z tiene más números que N, y nosotros diríamos, pero entonces Z es más infinito que N (su cardinalidad es mayor). En lo que sigue, vamos a tratar de convencerlos de que en realidad, tienen la misma cantidad de números, que aunque hayamos agregado una infinidad de números más, Z y N tienen la misma cardinalidad, la misma infinitud.
Primero, notemos que el conjunto
\[N_0=\{0,1,2,3,...\}\]
Ahora que sabemos que hay infinitos números naturales, podemos poner
\[N=\{1,2,3,...\},\]
donde los puntos suspensivos implican que la lista de números no termina nunca. Es necesario destacar que estamos viendo al infinito como un adjetivo ("que no tiene fin ni límite"), una cualidad de los conjuntos referida a la cantidad de elementos que tienen; esto se conoce en matemáticas como "cardinalidad". De hecho, N posee el menor infinito posible; la prueba de esto es relativamente sencilla pero escapa al fin de este artículo. En realidad, nosotros vamos para el otro lado, intentamos ver que hay al menos un infinito mayor que el de N.
Bien, en este momento podemos pensar qué pasa con los demás conjuntos numéricos. En principio miremos qué pasa si al conjunto de los números naturales lo ampliamos agregándole el cero y sus opuestos, es decir, formamos el conjunto de los números enteros (se denota con una Z). Ya sabemos que Z es infinito, por lo que dijimos anteriormente, luego podemos poner:
\[Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\]
Notar que hay tantos naturales opuestos (negativos) como naturales, por eso los puntos suspensivos al inicio y al final del conjunto. Por lo tanto el infinito de los negativos es igual al de los positivos, pero ¿qué pasa sobre la cantidad de números que contiene Z? Al principio muchos podrían afirmar que Z tiene más números que N, y nosotros diríamos, pero entonces Z es más infinito que N (su cardinalidad es mayor). En lo que sigue, vamos a tratar de convencerlos de que en realidad, tienen la misma cantidad de números, que aunque hayamos agregado una infinidad de números más, Z y N tienen la misma cardinalidad, la misma infinitud.
Primero, notemos que el conjunto
\[N_0=\{0,1,2,3,...\}\]
se puede dividir en dos subconjuntos, el de los números pares y el de los impares. Pongamos
\[2N=\{0,2,4,6,...\}\]
\[2N+1=\{1,3,5,7,...\}\]
el conjunto de pares y el del impares, respectivamente. Notar que ambos subconjuntos tienen infinitos elementos, los invito a intentar una prueba de esta afirmación (ayuda: afirmar lo contrario y razonar de la misma manera que con N, llegarán a una contradicción). Es momento de convencerlos de que 2N y 2N+1 tienen la misma cantidad que N, entender esto será crucial para lo que sigue.
Razonemos por qué 2N y N tienen la misma cantidad de números. Para ello hacemos la siguiente asignación: a cada número par, lo emparejamos con un único número natural. Por ejemplo, al 0 lo emparejamos con el 1, al 2 lo emparejamos con el 2, al 4 con el 3, y así sucesivamente.
$0\rightarrow 1$
$2\rightarrow 2$
$4\rightarrow 3$
...
$2n\rightarrow n+1$
...
De esta manera, todos los números pares se emparejan uno a uno con los números naturales, de tal manera que no sobran tampoco naturales sin emparejar. Así, existen tantas flechas como números pares, y tantas como números naturales. Por lo tanto, la cantidad de flechas coincide con la cantidad de naturales y también coincide con la cantidad de pares, o sea, la cantidad de pares coincide con la de naturales. Con esto probamos que 2N tienen la misma cardinalidad que N, la misma infinitud.
Esto se puede hacer también para ver que 2N+1 y N tiene la misma cardinalidad. Así podemos decir que si sumo el infinito de 2N y el de 2N+1, obtengo de nuevo el mismo infinito de $N_0$.
Ahora, también es fácil ver que N y $N_0$ tiene la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada número en $N_0$ lo flecho con su siguiente. De esta manera se tiene que el 0 se flecha al 1, el 1 al 2, el 2 al 3, etc.. Luego todos los elementos en $N_0$ están flechados uno a uno con todos los elementos de N. Concluimos, razonando como anteriormente, que $N_0$ tiene el mismo infinito de N. O sea que si a N le agrego un número, su infinitud no cambia.
Entonces, por lo que vimos hasta ahora, tenemos que si sumamos dos veces la infinidad de N, volvemos a obtener la misma infinidad de N. Esto es así, porque vimos que el infinito de los pares y de los impares coinciden y ambos son iguales al infinito de N, además juntos dan el infinito de $N_0$ que también es misma infinidad de N.
En este momento ya estamos listos para ver que Z y N tienen la misma cantidad de elementos. Primero vemos que Z se puede dividir en dos subconjuntos, el de los negativos y el de los no negativos:
\[N_{+}=\{0,1,2,3,...\}\]
\[N_{-}=\{-1,-2,-3,...\}\]
Sabemos que $N_{+}$ y N tienen la misma cantidad de elementos, ya que $N_{+}=N_0$. Además, es obvio que la cardinalidad de $N_{-}$ coincide con la de N. Por lo tanto, al juntar $N_{+}$ y $N_{-}$, estoy sumando dos veces el infinito de N, lo que nos vuelve a dar el mismo infinito de N. De esta manera, vemos que Z y N tiene la misma cantidad de elementos, el mismo infinito.
Hasta ahora no hemos encontrado un infinito distinto al de los números naturales, pero por suerte aún tenemos muchos números más para agregar y ampliar a Z hacia un conjunto "más grande". Entonces, agregamos a Z, los números decimales periódicos o los decimales exactos, positivos y negativos obviamente. De esta manera formamos el conjunto de los números racionales (se denota con una Q). Es conocido que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción entre dos números enteros. Entonces podemos poner:
\[Q=\{\frac{a}{b}\mid a, b\in Z, b\neq 0\}\]
Este conjunto también es infinito, ya que dentro de él está Z, aunque se agrego gran cantidad de números más, infinitos. Dentro de Q están los enteros, los números con decimales finitos (es decir que no tiene infinitos decimales) y los números con decimales infinitos periódicos. Por ejemplo, son racionales los siguientes números:
$-2=\frac{-2}{1}$
$-2,5=\frac{-25}{10}$
$-2,555555555...=\frac{-23}{9}$
Notar que el primero es entero, el segundo es decimal exacto y el tercero decimal periódico, todos se pueden escribir como una fracción.
Una peculiaridad de este conjunto Q es que los números ya no tienen un siguiente inmediato. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el número racional que le sigue al 1, no puede ser el 2, porque antes está el 1,5, pero 1,5 tampoco puede ser porque antes esta el 1,25, pero 1,25 no puede ser porque antes esta el 1,125, y podemos seguir así infinitamente. Por lo tanto, ningún número racional tiene un siguiente inmediato.
Ahora, miremos que Q y N tienen la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada fracción le asigno el par ordenado formado por su numerador y su denominador, o sea
\[\frac{a}{b}\rightarrow (a;b).\]
Luego existen tantas flechas como fracciones haya, tantas como pares ordenados de números enteros haya. Notar que por cada fracción habrá un único par ordenado de enteros. Entonces si vemos que la cantidad de pares ordenados de enteros coincide con la de N, ya habremos mostrado que la cardinalidad de Q es N. Esto lo vamos a mostrar de manera simple, sin la rigurosidad matemática que se acostumbra. La idea es ver primero miremos que cada par ordenado de enteros vive en $Z\times Z$. Luego, la cantidad de posibilidades que tenemos para formar pares ordenados es la cardinalidad de Z mas la cardinalidad de Z. Como la cardinalidad de Z es la de N y sumar dos veces la cardinalidad de N da la misma de N, concluimos que $Z\times Z$ tiene la misma cantidad de elementos que N. Por lo tanto Q tiene la misma infintud que N. Finalmente seguimos teniendo el mismo infinito.
Afortunadamente nos queda por agregar un tipo mas de número, agregamos a Q los números que tienen infinitos decimales pero que no son periódicos (estos números se llaman irracionales) y formamos el conjunto de los números reales (se denota con una letra R). Resulta que este conjunto incluye a Q y también a otros más (infinitos más).
Miremos ahora que R tiene un infinito más grande que N. Para eso, tomemos un pedacito de R y miremos que ese pedacito tiene un infinito más grande que el de todo N. Para demostrar esto, tomemos el intervalo de los números reales entre el 0 y el 1, lo denotamos simplemente [0;1], y supongamos que en él hay la misma cantidad de números que en N, lo cual nos llevará a un absurdo o contradicción (para entender mejor este método de demostración pueden mirar el siguiente artículo).
Entonces, si [0;1] tiene la misma cardinalidad que N, entonces podemos emparejar cada número en [0;1] con un único número natural, de tal manera que cada natural tiene su única pareja en [0;1]. De esta manera, se tendría que todos los números reales en [0;1] están numerados, ya que a cada uno le toca un número natural. Considerando el hecho de que un número con periodo 9, es el número que tiene una unidad más en la posición anterior a la del periodo. Por ejemplo, 0,89999999...=0,9. Luego, todos los números en [0;1] están en la lista infinita $\{a_1, a_2, a_3, a_4, ...\}$, donde cada $a_i$ vale "0 coma algo". Este emparejamiento se puede escribir como:
$1\rightarrow a_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3...$
$2\rightarrow a_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3...$
$3\rightarrow a_3=0,a_3^1a_3^2a_3^3...$
$4\rightarrow a_4=0,a_4^1a_4^2a_4^3...$
...,
y así sucesivamente. Notar que los índices superiores son para designar la posición del dígito, que es un número de 0 a 9. Luego, construimos el siguiente número real $b=0,b_1b_2b_3b_4...$, donde:
$b_1= a_1^1+1$
$b_2= a_2^2+1$
$b_3= a_3^3+1$
$b_4= a_4^4+1$
...
sucesivamente. Con esto vemos que b no está en la lista, ya que:
$b\neq a_1$ porque $b_1\neq a_1^1$
$b\neq a_2$ porque $b_2\neq a_2^2$
$b\neq a_3$ porque $b_3\neq a_3^3$
$b\neq a_4$ porque $b_4\neq a_4^4$
...
Es decir, b difiere con todos los números de la lista porque sus decimales difieren con algún decimal de cada número en la lista. Luego, la lista no contiene a todos los números reales. Por lo tanto, hay más números reales en [0;1] que las flechas que se usaron en la asignación. Luego, probamos que el cardinal de [0;1] es mayor que el de N. Finalmente encontramos un subconjunto de R que tiene un infinito más grande que el de N. Por lo tanto, R tiene más números que N.
Con esto vemos que hay al menos dos tipos de infinitos, donde hay un infinito más grande que otro. En cuestiones de nombres, el cardinal de N se denomina "alef cero", denotado por $\aleph_0$ y el cardinal de R simplemente como "continuo", denotado por c.
Históricamente el matemático Cantor G. (1845-1918) fue quien demostró que R tenía un mayor cardinal que N, y además mostró que se podía construir una sucesión creciente de cardinales infinitos $\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<...$, donde el menor de todos era el $\aleph_0$ (el infinito más chico) y conjeturó que $\aleph_1=c$, la cual se denomina la "hipótesis del continuo". Su hipótesis afirma que no hay ningún infinito entre los naturales y reales. Cantor luchó incansablemente para demostrar esta hipótesis. Tal era su lucha que, luego de que en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 un matemático ruso propuso una demostración, Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error. Sin embargo, poco tiempo después, otro matemático, cuyo apellido se asocia a un axioma muy controversial (el axioma de elección), mostraba que la prueba tenía un error. De esta manera, la hipótesis del continuo siguió sin demostración hasta después de la muerte de Cantor, y seguirá por siempre. Esto es así, porque años después de la muerte de su autor, dos matemáticos, Gödel K. y Cohen P., cerrarían por completo el problema: la hipótesis del continuo es indemostrable (Cohen en 1963) y tampoco se la puede refutar (Gödel en 1940).
CUESTIONES EXTRAS SOBRE EL INFINITO
En lo anterior, vimos que no existe un único infinito como adjetivo ni como sustantivo, dado que si decimos simplemente "es infinito" en cuanto al tamaño, no estamos determinando cuán infinito es. Más aún, tampoco podemos decir que hay un infinito más grande que todos los infinitos. De esta manera, la cualidad de ser infinito no es única.
Por otro lado, podríamos pensar en el infinito como la negación de un lugar al que alguna vez llegaremos desplazándonos. Imaginemos que se tiene un plano con un sistema de ejes cartesianos. Sabemos que el plano es infinito en dimensiones, si caminamos en línea recta, jamás llegaríamos al final del plano. Pensemos en circunferencias centradas en el cero y de un ciertos radios finitos. Luego, tomemos el infinito como aquel lugar que se encuentra fuera de todas las circunferencias centradas en el cero y de radio finito. En este sentido, podríamos pensar en el infinito como el lugar que yace sobre una circunferencia de radio infinito. Este razonamiento se puede extender al espacio tridimensional. También lo podríamos llevar a un espacio de n dimensiones, por ejemplo el Espacio-Tiempo fundado por Einstein. Sin embargo, la mayoría de los científicos actuales sostienen que el universo es ilimitado pero no infinito. Esto nos lleva a diferenciar lo ilimitado de lo infinito. Ilimitado significa que no tiene límite, en cambio infinito implica que no tiene fin. Entonces, como podríamos pensar que el universo no es infinito pero si es ilimitado. Esto significa que si nos desplazamos a través del espacio, jamás chocaríamos contra algo, nunca encontraríamos el límite o frontera, pero ¿acaso esto significa que el universo es infinito?. En realidad no, para entender mejor esto, realicemos una analogía. Imaginemos que nos vendaran los ojos y nos pusieran a caminar sobre una esfera lo suficientemente grande, de la cual no nos podemos caer. En principio pensaríamos que estamos caminando en una superficie plana y notaríamos que nunca llegamos a ningún lado. En nuestras mentes, esa superficie por la que caminamos tiene longitud infinita e ilimitada, pero en realidad, la longitud de todas las circunferencia que se pueden realizar sobre la esfera, seria finita, ya que la esfera tiene radio finito. Entonces vemos que la superficie de nuestra esfera es ilimitada, pero no infinita, tiene un área determinada (es finitamente medible) pero no tiene límite ni frontera. De esta manera, nuestro universo se comportaría del mismo modo, es finito (medible) pero ilimitado. Entonces, podríamos pensar si existe la posibilidad de algo físicamente infinito dentro del universo (¿sería un absurdo no?). Einstein dejó una frase célebre al respecto: "Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; del universo no estoy seguro."
Posiblemente el infinito es sólo la negación de lo finito, ¿existe?, claro que sí, tiene existencia pero no en nuestro mundo, y más aún, mostramos que al menos existen infinitos infinitos.
\[2N=\{0,2,4,6,...\}\]
\[2N+1=\{1,3,5,7,...\}\]
el conjunto de pares y el del impares, respectivamente. Notar que ambos subconjuntos tienen infinitos elementos, los invito a intentar una prueba de esta afirmación (ayuda: afirmar lo contrario y razonar de la misma manera que con N, llegarán a una contradicción). Es momento de convencerlos de que 2N y 2N+1 tienen la misma cantidad que N, entender esto será crucial para lo que sigue.
Razonemos por qué 2N y N tienen la misma cantidad de números. Para ello hacemos la siguiente asignación: a cada número par, lo emparejamos con un único número natural. Por ejemplo, al 0 lo emparejamos con el 1, al 2 lo emparejamos con el 2, al 4 con el 3, y así sucesivamente.
$0\rightarrow 1$
$2\rightarrow 2$
$4\rightarrow 3$
...
$2n\rightarrow n+1$
...
De esta manera, todos los números pares se emparejan uno a uno con los números naturales, de tal manera que no sobran tampoco naturales sin emparejar. Así, existen tantas flechas como números pares, y tantas como números naturales. Por lo tanto, la cantidad de flechas coincide con la cantidad de naturales y también coincide con la cantidad de pares, o sea, la cantidad de pares coincide con la de naturales. Con esto probamos que 2N tienen la misma cardinalidad que N, la misma infinitud.
Esto se puede hacer también para ver que 2N+1 y N tiene la misma cardinalidad. Así podemos decir que si sumo el infinito de 2N y el de 2N+1, obtengo de nuevo el mismo infinito de $N_0$.
Ahora, también es fácil ver que N y $N_0$ tiene la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada número en $N_0$ lo flecho con su siguiente. De esta manera se tiene que el 0 se flecha al 1, el 1 al 2, el 2 al 3, etc.. Luego todos los elementos en $N_0$ están flechados uno a uno con todos los elementos de N. Concluimos, razonando como anteriormente, que $N_0$ tiene el mismo infinito de N. O sea que si a N le agrego un número, su infinitud no cambia.
Entonces, por lo que vimos hasta ahora, tenemos que si sumamos dos veces la infinidad de N, volvemos a obtener la misma infinidad de N. Esto es así, porque vimos que el infinito de los pares y de los impares coinciden y ambos son iguales al infinito de N, además juntos dan el infinito de $N_0$ que también es misma infinidad de N.
En este momento ya estamos listos para ver que Z y N tienen la misma cantidad de elementos. Primero vemos que Z se puede dividir en dos subconjuntos, el de los negativos y el de los no negativos:
\[N_{+}=\{0,1,2,3,...\}\]
\[N_{-}=\{-1,-2,-3,...\}\]
Sabemos que $N_{+}$ y N tienen la misma cantidad de elementos, ya que $N_{+}=N_0$. Además, es obvio que la cardinalidad de $N_{-}$ coincide con la de N. Por lo tanto, al juntar $N_{+}$ y $N_{-}$, estoy sumando dos veces el infinito de N, lo que nos vuelve a dar el mismo infinito de N. De esta manera, vemos que Z y N tiene la misma cantidad de elementos, el mismo infinito.
Hasta ahora no hemos encontrado un infinito distinto al de los números naturales, pero por suerte aún tenemos muchos números más para agregar y ampliar a Z hacia un conjunto "más grande". Entonces, agregamos a Z, los números decimales periódicos o los decimales exactos, positivos y negativos obviamente. De esta manera formamos el conjunto de los números racionales (se denota con una Q). Es conocido que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción entre dos números enteros. Entonces podemos poner:
\[Q=\{\frac{a}{b}\mid a, b\in Z, b\neq 0\}\]
Este conjunto también es infinito, ya que dentro de él está Z, aunque se agrego gran cantidad de números más, infinitos. Dentro de Q están los enteros, los números con decimales finitos (es decir que no tiene infinitos decimales) y los números con decimales infinitos periódicos. Por ejemplo, son racionales los siguientes números:
$-2=\frac{-2}{1}$
$-2,5=\frac{-25}{10}$
$-2,555555555...=\frac{-23}{9}$
Notar que el primero es entero, el segundo es decimal exacto y el tercero decimal periódico, todos se pueden escribir como una fracción.
Una peculiaridad de este conjunto Q es que los números ya no tienen un siguiente inmediato. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el número racional que le sigue al 1, no puede ser el 2, porque antes está el 1,5, pero 1,5 tampoco puede ser porque antes esta el 1,25, pero 1,25 no puede ser porque antes esta el 1,125, y podemos seguir así infinitamente. Por lo tanto, ningún número racional tiene un siguiente inmediato.
Ahora, miremos que Q y N tienen la misma cardinalidad. En efecto, hacemos la siguiente asignación: a cada fracción le asigno el par ordenado formado por su numerador y su denominador, o sea
\[\frac{a}{b}\rightarrow (a;b).\]
Luego existen tantas flechas como fracciones haya, tantas como pares ordenados de números enteros haya. Notar que por cada fracción habrá un único par ordenado de enteros. Entonces si vemos que la cantidad de pares ordenados de enteros coincide con la de N, ya habremos mostrado que la cardinalidad de Q es N. Esto lo vamos a mostrar de manera simple, sin la rigurosidad matemática que se acostumbra. La idea es ver primero miremos que cada par ordenado de enteros vive en $Z\times Z$. Luego, la cantidad de posibilidades que tenemos para formar pares ordenados es la cardinalidad de Z mas la cardinalidad de Z. Como la cardinalidad de Z es la de N y sumar dos veces la cardinalidad de N da la misma de N, concluimos que $Z\times Z$ tiene la misma cantidad de elementos que N. Por lo tanto Q tiene la misma infintud que N. Finalmente seguimos teniendo el mismo infinito.
Afortunadamente nos queda por agregar un tipo mas de número, agregamos a Q los números que tienen infinitos decimales pero que no son periódicos (estos números se llaman irracionales) y formamos el conjunto de los números reales (se denota con una letra R). Resulta que este conjunto incluye a Q y también a otros más (infinitos más).
Miremos ahora que R tiene un infinito más grande que N. Para eso, tomemos un pedacito de R y miremos que ese pedacito tiene un infinito más grande que el de todo N. Para demostrar esto, tomemos el intervalo de los números reales entre el 0 y el 1, lo denotamos simplemente [0;1], y supongamos que en él hay la misma cantidad de números que en N, lo cual nos llevará a un absurdo o contradicción (para entender mejor este método de demostración pueden mirar el siguiente artículo).
Entonces, si [0;1] tiene la misma cardinalidad que N, entonces podemos emparejar cada número en [0;1] con un único número natural, de tal manera que cada natural tiene su única pareja en [0;1]. De esta manera, se tendría que todos los números reales en [0;1] están numerados, ya que a cada uno le toca un número natural. Considerando el hecho de que un número con periodo 9, es el número que tiene una unidad más en la posición anterior a la del periodo. Por ejemplo, 0,89999999...=0,9. Luego, todos los números en [0;1] están en la lista infinita $\{a_1, a_2, a_3, a_4, ...\}$, donde cada $a_i$ vale "0 coma algo". Este emparejamiento se puede escribir como:
$1\rightarrow a_1=0,a_1^1a_1^2a_1^3...$
$2\rightarrow a_2=0,a_2^1a_2^2a_2^3...$
$3\rightarrow a_3=0,a_3^1a_3^2a_3^3...$
$4\rightarrow a_4=0,a_4^1a_4^2a_4^3...$
...,
y así sucesivamente. Notar que los índices superiores son para designar la posición del dígito, que es un número de 0 a 9. Luego, construimos el siguiente número real $b=0,b_1b_2b_3b_4...$, donde:
$b_1= a_1^1+1$
$b_2= a_2^2+1$
$b_3= a_3^3+1$
$b_4= a_4^4+1$
...
sucesivamente. Con esto vemos que b no está en la lista, ya que:
$b\neq a_1$ porque $b_1\neq a_1^1$
$b\neq a_2$ porque $b_2\neq a_2^2$
$b\neq a_3$ porque $b_3\neq a_3^3$
$b\neq a_4$ porque $b_4\neq a_4^4$
...
Es decir, b difiere con todos los números de la lista porque sus decimales difieren con algún decimal de cada número en la lista. Luego, la lista no contiene a todos los números reales. Por lo tanto, hay más números reales en [0;1] que las flechas que se usaron en la asignación. Luego, probamos que el cardinal de [0;1] es mayor que el de N. Finalmente encontramos un subconjunto de R que tiene un infinito más grande que el de N. Por lo tanto, R tiene más números que N.
Con esto vemos que hay al menos dos tipos de infinitos, donde hay un infinito más grande que otro. En cuestiones de nombres, el cardinal de N se denomina "alef cero", denotado por $\aleph_0$ y el cardinal de R simplemente como "continuo", denotado por c.
Históricamente el matemático Cantor G. (1845-1918) fue quien demostró que R tenía un mayor cardinal que N, y además mostró que se podía construir una sucesión creciente de cardinales infinitos $\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<...$, donde el menor de todos era el $\aleph_0$ (el infinito más chico) y conjeturó que $\aleph_1=c$, la cual se denomina la "hipótesis del continuo". Su hipótesis afirma que no hay ningún infinito entre los naturales y reales. Cantor luchó incansablemente para demostrar esta hipótesis. Tal era su lucha que, luego de que en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 un matemático ruso propuso una demostración, Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error. Sin embargo, poco tiempo después, otro matemático, cuyo apellido se asocia a un axioma muy controversial (el axioma de elección), mostraba que la prueba tenía un error. De esta manera, la hipótesis del continuo siguió sin demostración hasta después de la muerte de Cantor, y seguirá por siempre. Esto es así, porque años después de la muerte de su autor, dos matemáticos, Gödel K. y Cohen P., cerrarían por completo el problema: la hipótesis del continuo es indemostrable (Cohen en 1963) y tampoco se la puede refutar (Gödel en 1940).
CUESTIONES EXTRAS SOBRE EL INFINITO
En lo anterior, vimos que no existe un único infinito como adjetivo ni como sustantivo, dado que si decimos simplemente "es infinito" en cuanto al tamaño, no estamos determinando cuán infinito es. Más aún, tampoco podemos decir que hay un infinito más grande que todos los infinitos. De esta manera, la cualidad de ser infinito no es única.
Por otro lado, podríamos pensar en el infinito como la negación de un lugar al que alguna vez llegaremos desplazándonos. Imaginemos que se tiene un plano con un sistema de ejes cartesianos. Sabemos que el plano es infinito en dimensiones, si caminamos en línea recta, jamás llegaríamos al final del plano. Pensemos en circunferencias centradas en el cero y de un ciertos radios finitos. Luego, tomemos el infinito como aquel lugar que se encuentra fuera de todas las circunferencias centradas en el cero y de radio finito. En este sentido, podríamos pensar en el infinito como el lugar que yace sobre una circunferencia de radio infinito. Este razonamiento se puede extender al espacio tridimensional. También lo podríamos llevar a un espacio de n dimensiones, por ejemplo el Espacio-Tiempo fundado por Einstein. Sin embargo, la mayoría de los científicos actuales sostienen que el universo es ilimitado pero no infinito. Esto nos lleva a diferenciar lo ilimitado de lo infinito. Ilimitado significa que no tiene límite, en cambio infinito implica que no tiene fin. Entonces, como podríamos pensar que el universo no es infinito pero si es ilimitado. Esto significa que si nos desplazamos a través del espacio, jamás chocaríamos contra algo, nunca encontraríamos el límite o frontera, pero ¿acaso esto significa que el universo es infinito?. En realidad no, para entender mejor esto, realicemos una analogía. Imaginemos que nos vendaran los ojos y nos pusieran a caminar sobre una esfera lo suficientemente grande, de la cual no nos podemos caer. En principio pensaríamos que estamos caminando en una superficie plana y notaríamos que nunca llegamos a ningún lado. En nuestras mentes, esa superficie por la que caminamos tiene longitud infinita e ilimitada, pero en realidad, la longitud de todas las circunferencia que se pueden realizar sobre la esfera, seria finita, ya que la esfera tiene radio finito. Entonces vemos que la superficie de nuestra esfera es ilimitada, pero no infinita, tiene un área determinada (es finitamente medible) pero no tiene límite ni frontera. De esta manera, nuestro universo se comportaría del mismo modo, es finito (medible) pero ilimitado. Entonces, podríamos pensar si existe la posibilidad de algo físicamente infinito dentro del universo (¿sería un absurdo no?). Einstein dejó una frase célebre al respecto: "Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; del universo no estoy seguro."
Posiblemente el infinito es sólo la negación de lo finito, ¿existe?, claro que sí, tiene existencia pero no en nuestro mundo, y más aún, mostramos que al menos existen infinitos infinitos.
